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Mengen-Axiome: Korrektur einer Idee
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:19 Do 22.10.2009
Autor: Ersty

Aufgabe 1
Sind A,B zwei Mengen, so gilt A∪B = [mm] \cup [/mm] {A,B}. Folgt daraus, daß eins unserer beiden Axiome zur Vereinigung überflüssig ist (d. h. aus den anderen Axiomen folgt), und wenn ja, welches?

die 2 Axiome sind:


Aufgabe 2
Axiom 1 = Sind A,B Mengen (nicht notwendig verschieden), so gibt
es eine Menge A [mm] \cup [/mm] B, die genau diejenigen Mengen als
Elemente enthält, die Element von A oder von B sind.

Axiom 2 = Zu jeder Menge [mm] \mathcal{A} [/mm] gibt es eine Menge [mm] \cup \mathcal{A}, [/mm] die genau die Elemente der Elemente von [mm] \mathcal{A} [/mm] zum Element hat:
[mm] \cup \mathcal{A} [/mm] = { a | [mm] \exists [/mm] A [mm] \in \mathcal{A}: [/mm] a [mm] \in [/mm] A}.

Vorerst eine Verständnisfrage, der Prof hat die Def hier so in das Script geschrieben, allerdings frage ich mich ob ich zwischen 2 Mengen ein Elementzeichen machen darf. Das ist kein Flüchtigkeitsfehler, der Prof macht das andauernd im Script. Darf ich ein [mm] \in [/mm] zwischen 2 Mengen schreiben? Oder Teilmenge von....

Zur Frage:

Ich würde sagen ja, hier meine Idee:

Sei A∪B = [mm] \cup [/mm] {A,B}. [mm] \Rightarrow [/mm] (mit Axiom 2)
[mm] \cup [/mm] {A,B} =  { a | [mm] \exists [/mm] A [mm] \in \mathcal{A}: [/mm] a [mm] \in [/mm] A [mm] \vee [/mm]  b | [mm] \exists [/mm] B [mm] \in \mathcal{B}: [/mm] b [mm] \in [/mm] B}
= [mm] \cup [/mm] A "oder" [mm] \cup [/mm] B
= Axiom 1
q.e.d.

darf ich das so machen?

Vielen Dank im Voraus, ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.

        
Bezug
Mengen-Axiome: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 04:09 Fr 23.10.2009
Autor: cycore

Hallo,
> [...]
>  Vorerst eine Verständnisfrage, der Prof hat die Def hier
> so in das Script geschrieben, allerdings frage ich mich ob
> ich zwischen 2 Mengen ein Elementzeichen machen darf. Das
> ist kein Flüchtigkeitsfehler, der Prof macht das andauernd
> im Script. Darf ich ein [mm]\in[/mm] zwischen 2 Mengen schreiben?
> Oder Teilmenge von....

Das kommt darauf an, was die mengen miteinander zu tun haben..Beispiel:
[mm] $\{1,2\}=:A\subset\{0,1,2,3\}$ [/mm] aber [mm] $\{1,2\}=:A\in\mathcal{A}:=\{\{1,2\}, \{2,3\}, \{0,1\}\}$ [/mm]
Also das [mm] \mathcal{A} [/mm] ist (sowohl im Beispiel als auch im Axiom) Menge von Mengen!

>  
> Zur Frage:
>
> Ich würde sagen ja, hier meine Idee:
>  
> Sei A∪B = [mm] \cup [/mm] {A,B}. [mm] \Rightarrow [/mm] (mit Axiom 2)
>  [mm] \cup [/mm] {A,B} =  { a | [mm] \exists [/mm] A [mm] \in \mathcal{A} [/mm] : a [mm] \in [/mm] A
> [mm] \vee [/mm]  b | [mm] \exists [/mm] B [mm] \in \mathcal{B}: [/mm] b [mm] \in [/mm] B}
>  = [mm] \cup [/mm] A "oder" [mm] \cup [/mm] B
>  = Axiom 1
>  q.e.d.
>  
> darf ich das so machen?

Nein..Leider nicht - also erstmal ist = Axiom 1 formal (sorry) echt unfug..aber du hast auch das vorher schon falsch verstanden...woher kommt dein [mm] \mathcal{B} [/mm] ?..richtig müsste es lauten
[mm] $\cup\{A,B\}=\{a | \exists X\in \{A,B\} : a\in X\}$ [/mm]
und das kannst du jetzt wieder zu der einfachen vereinigung umformen^^
Aber um auf deine ursprüngliche Aufgabe zurückzukommen - wenn eine Aussage ein Spezialfall der anderen ist...na welche von den beiden wird dann wohl überflüssig? Versuchs mal mit dem Ansatz Wähle bei Axiom 2 [mm] \mathcal{A}:=\{A,B\}\Rightarrow [/mm] ? ;)

LG cycore

>  
> Vielen Dank im Voraus, ich habe diese Frage in keinem
> anderen Forum gestellt.


Bezug
                
Bezug
Mengen-Axiome: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:24 Fr 23.10.2009
Autor: Ersty

Hi, danke für deine schnelle Rückmeldung:
verstehe ich dich richtig:

[mm] \mathcal{A} [/mm] := {A,B} [mm] \Rightarrow \cup [/mm] {A,B} = { [mm] a|\exists [/mm] X [mm] \in [/mm] {A,B} : a [mm] \in [/mm] X}

und daraus erhalte ich dann was?

Bezug
                        
Bezug
Mengen-Axiome: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:22 Fr 23.10.2009
Autor: Al-Chwarizmi


> Hi, danke für deine schnelle Rückmeldung:
>  verstehe ich dich richtig:
>  
> [mm]\mathcal{A}[/mm]:={A,B}[mm]\Rightarrow\cup[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

{A,B}={[mm]a|\exists[/mm]X[mm]\in[/mm]{A,B}:a[mm]\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

X}

[daumenhoch]

(gleiche Bemerkung wie soeben: zu viele [mm] und [/ mm] !)

  

> und daraus erhalte ich dann was?


Nun, wenn es ein [mm] X\in\{A,B\} [/mm] mit irgendwelchen
Eigenschaften gibt, so ist X=A oder X=B. Also kann
man  [mm] \{a\ |\ \exists X\in\{A,B\}: a\in X\} [/mm] einfacher schreiben:

     [mm] \{a\ |\ a\in A\ \vee\ a\in B\} [/mm]

Und dies entspricht genau der Definition der
Vereinigungsmenge zweier Mengen (Axiom 1).


LG    Al-Chw.




Bezug
        
Bezug
Mengen-Axiome: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:03 Fr 23.10.2009
Autor: Al-Chwarizmi


> Sind A,B zwei Mengen, so gilt A∪B = [mm]\cup[/mm] {A,B}. Folgt
> daraus, daß eins unserer beiden Axiome zur Vereinigung
> überflüssig ist (d. h. aus den anderen Axiomen folgt),
> und wenn ja, welches?
>  
> die 2 Axiome sind:
>  
>
> Axiom 1:
>  Sind A,B Mengen (nicht notwendig verschieden), so gibt
>  es eine Menge A [mm]\cup[/mm] B, die genau diejenigen Mengen als
>  Elemente enthält, die Element von A oder von B sind.
>  
> Axiom 2:
>  Zu jeder Menge [mm]\mathcal{A}[/mm] gibt es eine Menge [mm] $\cup \mathcal{A}$, [/mm]
>  die genau die Elemente der Elemente von [mm] \mathcal{A} [/mm] zum Element hat:

>          [mm] $\cup \mathcal{A}= \{ a\ |\ \exists\ A \in \mathcal{A}:a \in A\}$. [/mm]   (***)

>  Vorerst eine Verständnisfrage, der Prof hat die Def hier
>  so in das Script geschrieben, allerdings frage ich mich ob
>  ich zwischen 2 Mengen ein Elementzeichen machen darf. Das
>  ist kein Flüchtigkeitsfehler, der Prof macht das andauernd
>  im Script. Darf ich ein [mm]\in[/mm] zwischen 2 Mengen schreiben?
>  Oder Teilmenge von....


Hallo Ersty,

in der axiomatischen Mengenlehre gibt es als Objekte
eigentlich nur Mengen. Alles was Element sein
kann, ist hier auch Menge. Sind also x und y irgend-
welche Mengen, so machen sowohl [mm] "x\in{y}" [/mm] als auch
[mm] "x\subset{y}" [/mm] Sinn und können je nach Belegung der
Variablen x und y wahr oder falsch sein.


Und zur Frage selbst:

Natürlich kann man "Axiom 1" auch einfach als Spezial-
fall von Axiom 2 auffassen für den Fall, dass [mm] \mathcal{A} [/mm]
nur 1 oder 2 Elemente besitzt.

Und noch eine Bemerkung zu deinen Formeleingaben:

Du hast wahnsinnig viele [mm] und [/ mm] benützt. Ich
habe fast alle davon eliminiert, um dir zu zeigen, dass
es auch viel einfacher geht. Klicke einfach mal auf die
Formel mit dem (***), um zu sehen, was ich meine.


LG    Al-Chw.

Bezug
                
Bezug
Mengen-Axiome: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:31 Fr 23.10.2009
Autor: Ersty

danke, jetzt hab ich begriffen, das Axiom 1 aus Axiom 2 folgt und somit überflüssig ist.
Vielen Dank

Bezug
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