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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 08:47 Sa 25.04.2009 | | Autor: | erisve |
| Aufgabe | Sei [mm] M\subset (n,n;\IR) [/mm] die Menge aller orhtogonalen, symmetrischen und positiv definiten Matrizen.
Sei [mm] N:=O(n)\capMat(n,n;\IZ) [/mm] die Menge aller orthogonalen Matrizen mit ganzzahligen Einträgen.
Wie viele Elemente enthalten die Mengen N und M? Geben sie eine explizite Beschreibung der Matrizen in M und N an.
Bilden M bzw. N mit der Matrizmultiplikation eine Gruppe? |
Morgen, ja bei mir scheitert es schon daran sich zu überlegen welche Matrizen in den Mengen sind, auf jeden Fall die Einheitsmatrix, dass die Matrizen aus M symmetrisch sein müssen und die Spalten beider Mengen eine ON-Basis bilden müssen , wie kann man das mit der positiven Definitheit in eine Eigenschaft übersetzten?
Für Tipps wär ich sehr dankbar .
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:24 Sa 25.04.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Sei [mm]M\subset (n,n;\IR)[/mm] die Menge aller orhtogonalen,
> symmetrischen und positiv definiten Matrizen.
Versuch doch mal zu ueberlegen wie eine solche Matrix aussehen kann.
Bedenke:
a) sie ist diagonalisierbar ueber [mm] $\IR$ [/mm] (weil symmetrisch), insbesondere sind alle Eigenwerte reell.
b) sie ist positiv definit (also alle Eigenwerte $> 0$).
c) sie ist orthogonal -- was wiederum eine Aussage ueber die Eigenwerte ergibt.
Also, was fuer Eigenwerte sind moeglich? Was folgt daraus?
> Sei [mm]N:=O(n)\capMat(n,n;\IZ)[/mm] die Menge aller orthogonalen
> Matrizen mit ganzzahligen Einträgen.
>
> Morgen, ja bei mir scheitert es schon daran sich zu
> überlegen welche Matrizen in den Mengen sind, auf jeden
> Fall die Einheitsmatrix,
Genau.
Bei $N$ hast du ja auch, dass die Spalte einer jeden Matrix einen Vektor der Laenge 1 bilden muss. Wieviele Vektoren der Laenge 1 gibt es, die nur ganzzahlige Eintraege haben? Wie koennen die Matrizen also nur aussehen?
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:17 Sa 25.04.2009 | | Autor: | Hanz |
Hi, ich sitze zur Zeit an der gleichen Aufgabe...
> Versuch doch mal zu ueberlegen wie eine solche Matrix
> aussehen kann.
>
> Bedenke:
> a) sie ist diagonalisierbar ueber [mm]\IR[/mm] (weil symmetrisch),
> insbesondere sind alle Eigenwerte reell.
> b) sie ist positiv definit (also alle Eigenwerte [mm]> 0[/mm]).
> c)
> sie ist orthogonal -- was wiederum eine Aussage ueber die
> Eigenwerte ergibt.
>
> Also, was fuer Eigenwerte sind moeglich? Was folgt daraus?
Orthogonale Matrizen haben als Eigenwerte [mm] \pm [/mm] 1, also folgt aus den drei Eigenschaften, dass die Eigenwerte der Matrizen von M nur 1 sein können.
Gibt es außer der Einheitsmatrix noch andere Matrizen, die all diese Eigenschaften erfüllen?
> Bei [mm]N[/mm] hast du ja auch, dass die Spalte einer jeden Matrix
> einen Vektor der Laenge 1 bilden muss. Wieviele Vektoren
> der Laenge 1 gibt es, die nur ganzzahlige Eintraege haben?
> Wie koennen die Matrizen also nur aussehen?
Das dürften dann ja nur "Standardbasisvektoren" sein, also Vektoren die nur eine 1 an einer ihrer n-Kompenenten stehen hat. De facto entpricht das doch wieder genau nur der Einheitsmatrix, oder habe ich jetzt was außer acht gelassen?
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> Hi, ich sitze zur Zeit an der gleichen Aufgabe...
>
> > Versuch doch mal zu ueberlegen wie eine solche Matrix
> > aussehen kann.
> >
> > Bedenke:
> > a) sie ist diagonalisierbar ueber [mm]\IR[/mm] (weil
> symmetrisch),
> > insbesondere sind alle Eigenwerte reell.
> > b) sie ist positiv definit (also alle Eigenwerte [mm]> 0[/mm]).
>
> > c)
> > sie ist orthogonal -- was wiederum eine Aussage ueber die
> > Eigenwerte ergibt.
> >
> > Also, was fuer Eigenwerte sind moeglich? Was folgt daraus?
>
> Orthogonale Matrizen haben als Eigenwerte [mm]\pm[/mm] 1, also folgt
> aus den drei Eigenschaften, dass die Eigenwerte der
> Matrizen von M nur 1 sein können.
> Gibt es außer der Einheitsmatrix noch andere Matrizen, die
> all diese Eigenschaften erfüllen?
Dies Matrix A müßte dann ja ähnlich zur Einheitsmatrix [mm] E_n [/mm] sein, sich also schreiben lassen als [mm] A=T^{-1}E_nT= E_n.
[/mm]
Also gibt's keine anderen.
> > Bei [mm]N[/mm] hast du ja auch, dass die Spalte einer jeden Matrix
> > einen Vektor der Laenge 1 bilden muss. Wieviele Vektoren
> > der Laenge 1 gibt es, die nur ganzzahlige Eintraege haben?
> > Wie koennen die Matrizen also nur aussehen?
>
>
> Das dürften dann ja nur "Standardbasisvektoren" sein, also
> Vektoren die nur eine 1 an einer ihrer n-Kompenenten stehen
> hat.
Die -1 käme doch auch infrage, oder?
> De facto entpricht das doch wieder genau nur der
> Einheitsmatrix, oder habe ich jetzt was außer acht
> gelassen?
s.o.
Und es ist doch beispielsweise [mm] \pmat{0&0&1\\1&0&0\\ 0&1&0} [/mm] auch orthogonal.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:09 Sa 25.04.2009 | | Autor: | Hanz |
> > Das dürften dann ja nur "Standardbasisvektoren" sein, also
> > Vektoren die nur eine 1 an einer ihrer n-Kompenenten stehen
> > hat.
>
> Die -1 käme doch auch infrage, oder?
Oh, stimmt ja! Habe das ganz vergessen, beim normieren wird die -1 ja quadriert und somit bleibt auch die Länge 1.
> Und es ist doch beispielsweise [mm]\pmat{0&0&1\\1&0&0\\ 0&1&0}[/mm]
> auch orthogonal.
Das habe ich auch übersehen >.<
Man kann ja quasi die Spalten der Einheitsmatrix vertauschen und erhält dann immernoch ein Element der Menge N.
Die Bedingung hier müsste dann eigtl. lauten:
Die Elemente von N haben in jeder ihrer n-Spalten jeweils an nur einer ihrer n-Komponenten eine [mm] \pm1 [/mm] stehen, wobei in jeder Zeile der Matrix nur 1 Eintrag = [mm] \pm1 [/mm] lauten darf, die restlichen müssen Null sein.
So dann richtig?
Nun müsste man es noch gescheit formuliert kriegen ;p
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> Das habe ich auch übersehen >.<
> Man kann ja quasi die Spalten der Einheitsmatrix
> vertauschen und erhält dann immernoch ein Element der Menge
> N.
>
> Die Bedingung hier müsste dann eigtl. lauten:
> Die Elemente von N haben in jeder ihrer n-Spalten jeweils
> an nur einer ihrer n-Komponenten eine [mm]\pm1[/mm] stehen, wobei in
> jeder Zeile der Matrix nur 1 Eintrag = [mm]\pm1[/mm] lauten darf,
> die restlichen müssen Null sein.
>
> So dann richtig?
Hallo,
ich bin mir ganz sicher, daß Du es richtig verstanden hast - aber die Formulieren trifft den Sachverhalt nicht nicht ganz.
>
> Nun müsste man es noch gescheit formuliert kriegen ;p
Genau.
Sind die [mm] e_i [/mm] bei Euch die Standardeinheitsvektoren?
Vielleicht so: in den n Spalten stehen n linear unabhängige Vektoren aus den Vektoren [mm] \pm e_1, \pme_2,..., \pm e_n.
[/mm]
Richtig elegant ist das leider auch noch nicht.
Auf jeden Fall mußt Du die Anzahl der Matrizen noch angeben.
gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:39 Sa 25.04.2009 | | Autor: | Hanz |
> Auf jeden Fall mußt Du die Anzahl der Matrizen noch
> angeben.
Also in der Menge M ist die Anzahl ja klar, weil es nur die Einheitsmatrix ist.
Bei N wird es deutlich kniffliger... jede Matrix die in N enthalten ist hat n-Spalten und n-Zeilen, sobald man eine Zeile/Spalte vertauscht erhält man wieder eine Matrix [mm] \in [/mm] N. Da würde ich sagen gibt es n-Matrizen. Hinzu kommt nun das man es nicht nur mit 1 sondern auch mit -1 machen kann... also 2n?
Aber es gibt ja auch noch Matrizen die sowohl +1 als auch -1 enthalten, was die sache nicht gerade einfacher macht ;p
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> Bei N wird es deutlich kniffliger...
Im vergleich zu M schon.
> jede Matrix die in N
> enthalten ist hat n-Spalten und n-Zeilen, sobald man eine
> Zeile/Spalte vertauscht erhält man wieder eine Matrix [mm]\in[/mm]
> N. Da würde ich sagen gibt es n-Matrizen. Hinzu kommt nun
> das man es nicht nur mit 1 sondern auch mit -1 machen
> kann... also 2n?
> Aber es gibt ja auch noch Matrizen die sowohl +1 als auch
> -1 enthalten, was die sache nicht gerade einfacher macht
> ;p
Wir halten erstmal fest: das ist jetzt alles nur noch ein kombinatorisches Problem - welche zu lösen mir persönlich nie leichtfällt.
Ich überlege hier so:
zu besetzen haben wir n Positionen, nämlich die n Spalten.
Für Spalte 1 haben wir 2n Vektoren zur Auswahl.
Für Spalte 2 dann nur noch 2(n-1), denn die darf ja nicht abhängig sein.
Für Spalte 3 scheiden die verbrauchten Vektoren und ihre Gegenvektoren aus, also haben wir noch 2(n-2) zur Auswahl.
[mm] \vdots
[/mm]
Für Spalte n gibt's dann noch zwei Möglichkeiten.
Insgesamt kommen also 2n* [mm] 2(n-1)*2(n-2)*...*2*1=2^n*n! [/mm] Matrizen infrage, würd' ich mal sagen tun.
Leuchtet's ein?
Gruß v. Angela
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(Korrektur) richtig (detailiert geprüft)  | | Datum: | 17:49 Sa 25.04.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Wir halten erstmal fest: das ist jetzt alles nur noch ein
> kombinatorisches Problem - welche zu lösen mir persönlich
> nie leichtfällt.
>
>
> Ich überlege hier so:
>
> zu besetzen haben wir n Positionen, nämlich die n Spalten.
>
> Für Spalte 1 haben wir 2n Vektoren zur Auswahl.
>
> Für Spalte 2 dann nur noch 2(n-1), denn die darf ja nicht
> abhängig sein.
>
> Für Spalte 3 scheiden die verbrauchten Vektoren und ihre
> Gegenvektoren aus, also haben wir noch 2(n-2) zur Auswahl.
>
> [mm]\vdots[/mm]
>
> Für Spalte n gibt's dann noch zwei Möglichkeiten.
>
> Insgesamt kommen also 2n* [mm]2(n-1)*2(n-2)*...*2*1=2^n*n![/mm]
> Matrizen infrage, würd' ich mal sagen tun.
>
> Leuchtet's ein?
Genau, so geht das.
Alternativ kann man auch ueberlegen:
Jede Matrix in $N$ zeichnet sich durch eine Permutation der Standardeinheitsvektoren aus zusammen mit Informationen fuer jede Spalte, ob da jetzt ein Plus oder Minus vor der 1 ist.
Man bekommt also eine Abbildung [mm] $\Phi [/mm] : [mm] S_n \times \{ -1, 1 \}^n \to [/mm] N$ definiert durch [mm] $\Phi(\sigma, (v_i)_i) [/mm] = A$, wobei $A$ in der $i$-ten Spalte ueberall Nullen hat, ausser an der [mm] $\sigma(i)$-ten [/mm] Stelle, wo [mm] $v_i$ [/mm] steht.
Man ueberlegt sich schnell, dass das wohldefiniert und eine Bijektion ist :) Daraus folgt dann $|N| = [mm] |S_n| [/mm] cdot [mm] |\{ -1, 1 \}^n| [/mm] = n! [mm] \cdot 2^n$.
[/mm]
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:01 Sa 25.04.2009 | | Autor: | Hanz |
Hätten dann noch eine Frage zum Nachweis der Gruppen:
Für M:
Bzgl. Matrixmultiplikation ist E (Einheitsmatrix) neutrales Element und Inverses Element ist [mm] A^{-1}.
[/mm]
M beinhaltet ja nur die Einheitsmatrix, somit enthält M ja schonmal das neutrale Element. Die Inverse von E ist ebenfalls E, also enthält M auch Inverses.
Zum letzten Axiom hätte ich dann noch ne Frage und zwar lautet es ja
(A*B)*C = A*(B*C) Kann ich jetzt A=B=C=E setzten? Dann ist auch dieses Axiom erfüllt und M bildet Gruppe.
Für N:
N enthält E, also neutrales Element.
N enthält Inverses Element, da bei O(n) gilt [mm] A^{-1}=A^T [/mm] und da [mm] \pm e_i [/mm] in den Spalten stehen ist auch dieses erfüllt.
und das letzte Axiom ist auch erfüllt.
Also bildet auch dies eine Gruppe.
Habe ich irgendwo einen Fehler?
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> Hätten dann noch eine Frage zum Nachweis der Gruppen:
Hallo,
daß die orthogonalen Matrizen eine Gruppe bilden, weißt Du ja sicher schon
Du mußt also nur die Untergruppenkriterien prüfen.
Schau die nochmal an. Du machst zu viel.
Augenmerk bitte auf die Abgeschlossenheit, die kommt bei Deinem Beweis bzgl N nämlich zu kurz.
Daß M eine Gruppe bildet, stimmt. Die kleinste Gruppe, die man sich denken kann.
Und N ist auch eine Gruppe.
Gruß v. Angela
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> Für M:
> Bzgl. Matrixmultiplikation ist E (Einheitsmatrix)
> neutrales Element und Inverses Element ist [mm]A^{-1}.[/mm]
>
> M beinhaltet ja nur die Einheitsmatrix, somit enthält M ja
> schonmal das neutrale Element. Die Inverse von E ist
> ebenfalls E, also enthält M auch Inverses.
> Zum letzten Axiom hätte ich dann noch ne Frage und zwar
> lautet es ja
> (A*B)*C = A*(B*C) Kann ich jetzt A=B=C=E setzten? Dann ist
> auch dieses Axiom erfüllt und M bildet Gruppe.
>
>
>
> Für N:
> N enthält E, also neutrales Element.
> N enthält Inverses Element, da bei O(n) gilt [mm]A^{-1}=A^T[/mm]
> und da [mm]\pm e_i[/mm] in den Spalten stehen ist auch dieses
> erfüllt.
> und das letzte Axiom ist auch erfüllt.
>
> Also bildet auch dies eine Gruppe.
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>
> Habe ich irgendwo einen Fehler?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:16 Sa 25.04.2009 | | Autor: | erisve |
Hallo, euch allen vielen Dank für die zahlreichen Antworten , es ist alles einleuchtend und ich habe es verstanden =),
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