Menge mit einer Verknüpfung < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
Ich schaue mir gerade Gruppen an.
Die Menge mit einer Verknüpfung und gleichzeitig "minimalen Voraussetzungen" ist ja die Halbgruppe, denn dort gilt nur das Assoziativgesetz.
Wenn ich jetzt noch eine Stufe tiefer gehen will, also eine Menge mit einer Verknüpfung, bei der nicht einmal dieses Assozitativgesetz gilt - was könnte das z B sein?
Selbiges würde mich auch für Mengen mit zwei Verknüpfungen interessieren. Also etwas Konkretes, was "noch weniger" als ein Ring ist.
|
|
| |
|
Hallo,
Eine Menge $ M $ mit einer Verknüpfung $ [mm] M\times M\longrightarrow [/mm] M $ nennt man ![[]](/images/popup.gif) Magma. Im Sinne einer der universellen Algebra kann man auch von einer Varietät des Typs $(2)$ sprechen. Statt Varietät sagt man auch Algebra.
Eine Menge mit zwei zweistelligen Verknüpfungen ist in diesem Kontext eine $(2,2) $-Algebra.
Beachte, dass eine Gruppe eine Algebra vom Typ $(0,1,2) $ ist! Es gibt eine 0-stellige Operation, welche das Einselement festlegt, eine einstellige Operation, die Inversenbildung, und eine zweistellige Operation, die Komposition.
Ein Ring ist eine $(0,0,1,2,2) $-Algebra. Null, Eins, additive Inversenbildung, Addition und Multiplikation.
Ein Halbring ist eine $(0,0,2,2) $-Algebra.
Ein Rng ist eine $(0,1,2,2) $-Algebra.
Ein Körper ist gar keine algebraische Struktur in diesem Sinne, da multiplikative Inversenbildung nicht auf dem ganzen Körper definiert ist. Dies ist der Grund, weshalb die Kategorie der Körper die ganzen schönen Eigenschaften sonstiger algebraischer Kategorien vermissen lässt - Vollständigkeit, Kovollständigkeit, freie Objekte, etc.
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
|
|
|
| |
|
Zwischenfrage (trotz laufender Bearbeitung):
Ist das nicht einfach die Bedingung der Abgeschlossenheit, d h verknüpfte Elemente aus M müssen wieder in M liegen?
Wikipedia:
"Ein Magma ist ein Paar (M,*), bestehend aus einer Menge M (der Trägermenge) und einer zweistelligen inneren Verknüpfung * [mm] \colon\, M\times M\rightarrow [/mm] M."
Mich irritert dei Notation:
Verknüpfe ich zwei Mengen, so wird dies mit dem Kreuz [mm] \times [/mm] symbolisiert: [mm] M\times [/mm] M
Warum schreibt man dann z B für eine menge mit einer Verknüpfung nicht (M, [mm] \times), [/mm] sondern (M,*).
Könnte ich andersherum schreiben:
"...einer zweistelligen inneren Verknüpfung * [mm] ,\colon\, [/mm] M* [mm] M\rightarrow [/mm] M."
wenn klar ist, dass * nicht für MAL steht sonder für eine Verknüpfung.
Haben diese verschiedenen Schreibweisen einen tieferen Sinn?
(z B dass die Mengen senkrecht aufeinander stehen - die relle Zahlenebene ist ja auch [mm] R\times [/mm] R und die Achsen stehen senkrecht. Man könnte für die reelle Zahlenebene auch schreiben R*R, weil R und R verknüft werden. oder?)
EDIT:
Mir fällt gerade auf, dass * ja DEFINIERT ist als M [mm] \times [/mm] M...
D. h. Mengenverknüfungen mit [mm] \times
[/mm]
MengenELEMENTverknüpfungen mit *
oder?
|
|
|
| |
|
> Zwischenfrage (trotz laufender Bearbeitung):
>
> Ist das nicht einfach die Bedingung der Abgeschlossenheit,
> d h verknüpfte Elemente aus M müssen wieder in M liegen?
Nun, eine Abbildung hat immer die Eigenschaft, dass Elemente aus dem Defbereich im Zielbereich liegen. Und die Verknüpfung ist ja eine Abbildung aus $ [mm] M\times [/mm] M $ nach $ M $.
> Wikipedia:
> "Ein Magma ist ein Paar (M,*), bestehend aus einer Menge M
> (der Trägermenge) und einer zweistelligen inneren
> Verknüpfung * [mm]\colon\, M\times M\rightarrow[/mm] M."
>
> Mich irritert dei Notation:
>
> Verknüpfe ich zwei Mengen, so wird dies mit dem Kreuz
> [mm]\times[/mm] symbolisiert: [mm]M\times[/mm] M
Dies ist das kartesische Produkt, die Menge der Paare von Elementen aus $ M $. Diese Schreibweise sollte dir etwas sagen!
> Warum schreibt man dann z B für eine menge mit einer
> Verknüpfung nicht (M, [mm]\times),[/mm] sondern (M,*).
>
> Könnte ich andersherum schreiben:
> "...einer zweistelligen inneren Verknüpfung * [mm],\colon\,[/mm]
> M* [mm]M\rightarrow[/mm] M."
>
> wenn klar ist, dass * nicht für MAL steht sonder für eine
> Verknüpfung.
Nein. Mach dich dringend mit dem kartesischen Produkt vertraut! Siehe auch [/url=http://de.m.wikipedia.org/wiki/Zweistellige_Verknüpfung]Verknüpfung[/url].
> Haben diese verschiedenen Schreibweisen einen tieferen
> Sinn?
> (z B dass die Mengen senkrecht aufeinander stehen - die
> relle Zahlenebene ist ja auch [mm]R\times[/mm] R und die Achsen
> stehen senkrecht. Man könnte für die reelle Zahlenebene
> auch schreiben R*R, weil R und R verknüft werden. oder?)
Auch dies sollte eine Beschäftigung mit dem kartesischen Produkt klären.
> EDIT:
> Mir fällt gerade auf, dass * ja DEFINIERT ist als M
> [mm]\times[/mm] M...
> D. h. Mengenverknüfungen mit [mm]\times[/mm]
> MengenELEMENTverknüpfungen mit *
> oder?
Nein. * ist eine Abbildung mit Defbereich $ [mm] M\times [/mm] M $.
|
|
|
|
