Menge einer Ungl. bestimmen < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:53 So 29.01.2006 | | Autor: | scratchy |
| Aufgabe | | Die Menge M={ (x,y) [mm] \in \IR^{2} [/mm] | [mm] \bruch{x-2}{x+y} \ge [/mm] 3 [mm] \wedge [/mm] |y| [mm] \ge [/mm] 4 } |
Hallo,
ist meine Vorgehensweise richtig?:
x+y > 0:
[mm] \bruch{x-2}{x+y} \ge [/mm] 3 [mm] \gdw [/mm] x-2 [mm] \ge [/mm] 3x+3y
[mm] \bruch{-2x-2}{3} \ge [/mm] y
x+y < 0:
[mm] \bruch{x-2}{x+y} \le [/mm] 3 [mm] \gdw [/mm] x-2 [mm] \ge [/mm] 3x+3y
[mm] \bruch{-2x-2}{3} \le [/mm] y
|y| [mm] \le [/mm] 4:
y [mm] \le [/mm] 4 [mm] \vee [/mm] y [mm] \ge [/mm] -4
Die Menge müsste dann eigentlich [mm] \IR^{2} [/mm] sein?
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Hi, scratchy,
> ist meine Vorgehensweise richtig?:
>
> x+y > 0:
Daraus erst mal: y > -x (Also: Nur Punkte oberhalb der 2. Winkelhalbierenden werden betrachtet!)
> [mm]\bruch{x-2}{x+y} \ge[/mm] 3 [mm]\gdw[/mm] x-2 [mm]\ge[/mm] 3x+3y
>
> [mm]\bruch{-2x-2}{3} \ge[/mm] y
Also: y [mm] \le -\bruch{2}{3}x [/mm] - [mm] \bruch{2}{3}
[/mm]
Demnach: Nur Punkte oberhalb dieser Geraden (einschließlich der Geraden selbst. Da zudem |y| [mm] \ge [/mm] 4 sein soll, gilt für den 1. Fall:
y > -x [mm] \wedge [/mm] y [mm] \le -\bruch{2}{3}x [/mm] - [mm] \bruch{2}{3} \wedge [/mm] y [mm] \le [/mm] -4
2. Fall:
> x+y < 0:
Also: y < -x (diesmal die Punkte unterhalb der Winkelhalbierenden)
> [mm]\bruch{x-2}{x+y} \le[/mm] 3 [mm]\gdw[/mm] x-2 [mm]\ge[/mm] 3x+3y
Aus x+y < 0 folgt doch nicht, dass [mm] \bruch{x-2}{x+y} \le [/mm] 3 !!
Der Ansatz ist auch in diesem Fall: [mm] \bruch{x-2}{x+y} \ge [/mm] 3
Erst bei der Multiplikation mit dem (negativen!) Nenner wird das Ungleichungszeichen umgedreht:
x-2 [mm] \le [/mm] 3x + 3y; daraus: y [mm] \ge -\bruch{2}{3}x [/mm] - [mm] \bruch{2}{3}
[/mm]
> |y| [mm]\le[/mm] 4:
> y [mm]\le[/mm] 4 [mm]\vee[/mm] y [mm]\ge[/mm] -4
Hä?! Ich denke |y| soll [mm] \ge [/mm] 4 sein?!
Schau Dir's bitte nochmal an!
Ergebnis nach Deiner Angabe im 2. Fall:
y < -x [mm] \wedge [/mm] y [mm] \ge -\bruch{2}{3}x [/mm] - [mm] \bruch{2}{3} \wedge [/mm] y [mm] \ge [/mm] 4.
> Die Menge müsste dann eigentlich [mm]\IR^{2}[/mm] sein?
Nein! Skizzier's mal! Als Begrenzungen spielen die Geraden mit den obigen Gleichungen eine Rolle!
mfG!
Zwerglein
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:40 So 29.01.2006 | | Autor: | scratchy |
Hallo Zwerglein,
danke für deine Hilfe.
> Hä?! Ich denke |y| soll [mm]\ge[/mm] 4 sein?!
Sorry, wie in der Aufgabenstellung stimmts, habe mich hier vertippt.
> Nein! Skizzier's mal!
Klar:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Was so ein Bisschen fleckig ist, soll die Menge sein.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: gif) [nicht öffentlich]
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Hi, scratchy,
ja! So ähnlich sieht meine Skizze auch aus!
(Mit |y| [mm] \le [/mm] 4 wär's natürlich schöner, weil dann zwei Dreiecke rauskämen!)
mfG!
Zwerglein
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