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Man beweise, dass für jede natürliche Zahl n>1 folgende Beziehung gilt:
[mm] \bruch{1}{\wurzel{1}} \oplus \bruch{1}{\wurzel{2}}... \oplus \bruch{1}{\wurzel{n}} [/mm] > [mm] \wurzel{n}
[/mm]
Mir fehlt der Ansatz, um diese Aufgabe zu bearbeiten muss ich über vollständige Induktion gehen?
Für Hilfe wäre ich dankbar
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:04 Fr 07.01.2005 | | Autor: | Hanno |
Hallo!
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
Eine kleine Frage: ist mit [mm] $\oplus$ [/mm] die "ganz normale" Addition gemeint? Wenn nicht, dann lies bitte nicht weiter :)
Ja, versuchen wir es doch mal über vollständige Induktion:
Die Gültigkeit der Behauptung für $n=2$, also die Induktionsverankerung, zeigt sich so:
[mm] $\frac{1}{\sqrt{1}}+\sqrt{1}{\sqrt{2}}>\sqrt{2}$
[/mm]
[mm] $\gdw \sqrt{2}+1>2$
[/mm]
[mm] $\gdw \sqrt{2} [/mm] > 1$,
was offensichtlich wahr ist.
Der Induktionsschritt lässt sich nun genau so durchführen. Sei die Behauptung für $n$ gültig, dann gilt:
[mm] $\summe_{i=1}^{n+1}{\frac{1}{\sqrt{i}}}>\sqrt{n}+\frac{1}{\sqrt{n+1}}$.
[/mm]
Die Gültigkeit von [mm] $\sqrt{n}+\frac{1}{\sqrt{n+1}}$ [/mm] weißt du deduktiv durch ein paar Äquivalenzumformungen nach:
[mm] $\sqrt{n}+\frac{1}{\sqrt{n+1}}>\sqrt{n+1}$
[/mm]
[mm] $\gdw \sqrt{n(n+1)}+1>n+1$
[/mm]
[mm] $\gdw \sqrt{n(n+1)}>n$
[/mm]
[mm] $\gdw n(n+1)>n^2$ ($\gdw$, [/mm] denn $n(n+1)$ ist nach Definition positiv)
[mm] $\gdw [/mm] n>0$.
Damit gilt auch [mm] $\summe_{i=1}^{n+1}{\frac{1}{\sqrt{i}}}>\sqrt{n+1}$, [/mm] was zu zeigen war.
Der Beweis durch Induktion ist somit abgeschlossen.
Ich hoffe ich konnte dir helfen - wenn es noch Probleme gibt oder ich mich verhaspelt habe, frag' bitte nach.
Liebe Grüße,
Hanno
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