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| Aufgabe | Bestimmen Sie die Menge aller Vektoren (x1,x2,x3) [mm] \in \IR^3 [/mm] für die gilt:
x1+2x2+x3= 0
2x1+x2+x3=0
3x1 +x3=0 |
Hallo Zusammen,
kann mir jemand bei dieser Aufgabe helfen? Leider habe ich überhaupt keine Ahnung wie ich hier rangehen soll.
Vielen Dank!
Gruß Philipp
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Hallo,
Du mußt die Lösung(en) des Gleichungssystems bestimmen.
Wie Du das machst, ist im Prinzip egal und wird davon abhängen, welche Methoden Du kennst und kannst.
Da Du im Hochschulforum postest, denke ich, daß Du den Gauß-Algorithmus und die Zeilenstufenform bereits hattest. Wenn das so ist, solltest Du erstmal eine matrix draus machen und diese in Zeilenstufenform bringen.
Gruß v. Angela
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Vielen Dank für Deine Hilfe.
Nur eine Frage hätte ich da noch:
Muss ich die Matrix auf Zeilenstuffenform bringen, oder kann ich nicht direkt den Gauß Algorithmus anwenden?
Gruß Philipp
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Hi,
das ist doch dasselbe 
Stelle mal die Matrix auf und bringe sie mittels Gauß-Algo in ZSF.
Da müsste eine Nullzeile entstehen, dann kannste eine allg. Lösung konstruieren
Gruß
schachuzipus
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Habe jetzt mehrmals die Martix auf Zeilenstufenform gebracht,
aber bei mir kommt immer
1 1 1 0
0 -1 -1 0
0 0 1 0
heraus. Ich bekomme keine Nullzeile. Was habe ich falsch gemacht?
Und wenn ich die Nullzeile habe, wie kann ich dann deine allgemeine Lösung konstruieren?
Bitte helft mir.
Gruß Philipp
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Hallo Philipp,
die Matrix, die das ursprüngliche GS repräsentiert, ist
[mm] \pmat{ 1 & 2&1&|&0 \\ 2 & 1 &1&|&0\\3&0&1&|&0}
[/mm]
Hier kann man das $-2$-fache der 1. Zeile zur 2. Zeile und das $-3$-fache der 1.Zeile zur 3.Zeile addieren und erhält
[mm] \pmat{ 1 & 2&1 &|&0\\ 0 & -3 &-1&|&0\\0&-6&-2&|&0}
[/mm]
Hier sieht man schon, dass die 3. Zeile ein Vielfaches der 2.Zeile ist, also $-2$-faches der 2.Zeile zur 3.Zeile addieren:
[mm] \pmat{ 1 & 2&1 &|&0\\ 0 & -3 &-1&|&0\\0&0&0&|&0}
[/mm]
Hier hast du nun 2 Gleichungen mit 3 Variablen, also eine frei wählbare, zB [mm] x_3=t [/mm] mit [mm] t\in\IR
[/mm]
Daraus kannst du dir dann die weitere Lsg konstruieren/berechnen
Gruß
schachuzipus
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Vielen Dank für Deine Hilfe!
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Wenn ich für x3=t wähle ist es dann richtig,
dass ich für x2= -t/3 und für x1= -2t/3 herausbekomme?
Gruß Philipp
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Hi Philipp,
ich habe für [mm] x_1=-\frac{t}{3} [/mm] raus
[mm] x_2 [/mm] hab ich auch so wie du
LG
schachuzipus
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Kann ich als Schlußsatz schreiben:
Die Menge alle Vektoren (x1,x2,x3) [mm] \in \IR^3
[/mm]
beträgt für x1=-t/3 für x2= -t/3 und für x3=1 ?
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Hallo nochmal,
> Kann ich als Schlußsatz schreiben:
>
> Die Menge alle Vektoren (x1,x2,x3) [mm]\in \IR^3[/mm]
>
> beträgt für x1=-t/3 für x2= -t/3 und für x3=1 ? [mm] x_3=t
[/mm]
Das klingt komisch, gib doch einfach die Lösungsmenge an:
[mm] \IL=\{t\cdot{}\vektor{-\frac{1}{3}\\-\frac{1}{3}\\1}|t\in\IR\}=\{s\cdot{}\vektor{-1\\-1\\3}|s\in\IR\}
[/mm]
Gruß
schachuzipus
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Vielen, vielen Dank für Deine Hilfe.
Dir noch einen schönen Abend.
Gruß Philipp
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dir auch, danke
schachu.
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