Menge K-linearer Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:08 Sa 10.12.2005 | | Autor: | Pupsi |
Sind V,W K-Vektorräume, x∈V , [mm] \lambda [/mm] ∈K und [mm] \alpha, \beta [/mm] :V [mm] \to [/mm] W , so setzt man
[mm] (\alpha [/mm] + [mm] \beta [/mm] ) (x) := [mm] \alpha(x) [/mm] + [mm] \beta(x) [/mm] und [mm] (\lambda \alpha)(x) [/mm] := [mm] \lambda (\alpha [/mm] (x)) . Man definiert ℒ (V ,W ) als Menge
der K-linearen Abbildungen V [mm] \to [/mm] W , und mit den eben definierten Operationen wird
ℒ (V ,W ) selbst ein Vektorraum.
Ist [mm] v_{1} [/mm] ,....., [mm] v_{n} [/mm] eine Basis von V , so kann man eine lineare Abbildung [mm] \alpha [/mm] :V [mm] \to [/mm] W dadurch
definieren, daß man die Werte [mm] \alpha (v_{i}) [/mm] ∈ W willkürlich vorgibt und anschließend für x = [mm] \summe_{i=1}^{n} x_{i} v_{i}
[/mm]
[mm] \alpha [/mm] (x) := [mm] \summe_{i=1}^{n} x_{i} \alpha (v_{i}) [/mm] definiert . (Man nennt das "linear fortsetzen".)
Ist jetzt auch noch eine Basis [mm] w_{1}, ....,w_{m} [/mm] von W gegeben, so setze man für 1 [mm] \le [/mm] j , k [mm] \le [/mm] n ,
1 [mm] \le [/mm] i [mm] \le [/mm] m [mm] \alpha_{ij} (v_{k}) [/mm] := [mm] \delta_{jk} w_{i} [/mm] , wobei
[mm] \delta_{jk} [/mm] := [mm] \begin{cases} 1, & \mbox{falls } j=k \mbox{} \\ 0, & \mbox{ } sonst \mbox{} \end{cases}
[/mm]
.
Man zeige: Die so definierten linearen Abbildungen [mm] \alpha_{ij} [/mm] :V [mm] \to [/mm] W , 1 [mm] \le [/mm] i [mm] \le [/mm] m 1 [mm] \le [/mm] j [mm] \le [/mm] n bilden
eine Basis von ℒ (V ,W) .
Ich finde einfach keinen Ansatz zur Lösung. Könntet ihr mir weiter helfen?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
MfG Pupsi
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> Sind V,W K-Vektorräume, x∈V , [mm]\lambda[/mm] ∈K und
> [mm]\alpha, \beta[/mm] :V [mm]\to[/mm] W , so setzt man
> [mm](\alpha[/mm] + [mm]\beta[/mm] ) (x) := [mm]\alpha(x)[/mm] + [mm]\beta(x)[/mm] und
> [mm](\lambda \alpha)(x)[/mm] := [mm]\lambda (\alpha[/mm] (x)) . Man definiert
> ℒ (V ,W ) als Menge
> der K-linearen Abbildungen V [mm]\to[/mm] W , und mit den eben
> definierten Operationen wird
> ℒ (V ,W ) selbst ein Vektorraum.
> Ist [mm]v_{1}[/mm] ,....., [mm]v_{n}[/mm] eine Basis von V , so kann man
> eine lineare Abbildung [mm]\alpha[/mm] :V [mm]\to[/mm] W dadurch
> definieren, daß man die Werte [mm]\alpha (v_{i})[/mm] ∈ W
> willkürlich vorgibt und anschließend für x =
> [mm]\summe_{i=1}^{n} x_{i} v_{i}[/mm]
>
> [mm]\alpha[/mm] (x) := [mm]\summe_{i=1}^{n} x_{i} \alpha (v_{i})[/mm]
> definiert . (Man nennt das "linear fortsetzen".)
> Ist jetzt auch noch eine Basis [mm]w_{1}, ....,w_{m}[/mm] von W
> gegeben, so setze man für 1 [mm]\le[/mm] j , k [mm]\le[/mm] n ,
> 1 [mm]\le[/mm] i [mm]\le[/mm] m [mm]\alpha_{ij} (v_{k})[/mm] := [mm]\delta_{jk} w_{i}[/mm]
> , wobei
> [mm]\delta_{jk}[/mm] := [mm]\begin{cases} 1, & \mbox{falls } j=k \mbox{} \\ 0, & \mbox{ } sonst \mbox{} \end{cases}[/mm]
>
> .
> Man zeige: Die so definierten linearen Abbildungen
> [mm]\alpha_{ij}[/mm] :V [mm]\to[/mm] W , 1 [mm]\le[/mm] i [mm]\le[/mm] m 1 [mm]\le[/mm] j [mm]\le[/mm] n bilden
> eine Basis von ℒ (V ,W) .
>
>
Hallo,
und
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !
> Ich finde einfach keinen Ansatz zur Lösung.
Lies Dir die Forenregeln nochmal durch...
Schade, daß Du nicht verrätst, womit du ein Problem hast, warum Du keinen Ansatz findest.
Dann könnte ich Dir gezielt etwas erklären.
So werde ich versuchen, die Aufgabe etwas zu erläutern.
Hast du Dir denn schon klargemacht, welches die Elemente des VRs ℒ (V ,W ) sind? Das sind sämtliche linearen Abbildungen von V nach W.
ℒ (V ,W ) ist ein Vektorraum. (Falls das nicht in der Vorlesung dran war, solltest du es Dir einmal klar machen, man braucht es ziemlich oft.)
Da ℒ (V ,W ) ein Vektorraum ist, hat ℒ (V ,W ) eine Basis.
Da ℒ (V ,W ) aus linearen Abbildungen besteht, wird die Basis eine "Sammlung" linearer Abbildungen sein.
Du mußt diese Basis gar nicht selber suchen, sondern Du sollst zeigen, daß die oben definierten linearen Abbildungen (es sind nm Stück) eine Basis des ℒ (V ,W ) sind.
Schauen wir uns exemplarisch die Abbildung [mm] a_{35}:V \to [/mm] W an.
Nun, nach Def. ist für alle k=1,...,n
[mm] a_{35}(v_k)= \delta_{5k}w_3
[/mm]
Das bedeutet, es ist [mm] a_{35}(v_5)= w_3 [/mm] und [mm] a_{35}(v_5)=0 [/mm] (Nullvektor) für [mm] k\not=5
[/mm]
Hat man x gegeben als x:= [mm] \summe_{i=1}^{n}k_iv_i,
[/mm]
so ist
[mm] a_{35}(x)= [/mm] a{35}( [mm] \summe_{i=1}^{n}k_iv_i)= \summe_{i=1}^{n}k_ia{35}(v_i)=k_5w_3
[/mm]
So, Du willst ja zeigen, daß die [mm] a_{ij} [/mm] eine Basis bilden.
Also mußt Du zeigen
linear unabhängig und
Erzeugendensystem.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:54 So 11.12.2005 | | Autor: | Pupsi |
Halli Hallo
Danke für die Hilfe!!
Werde die Lösung jetzt hinbekommen.
Danke nochmal!!!
MfG Pupsi
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