Menge C eines Vektorraumes < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:55 Sa 12.11.2011 | | Autor: | durden88 |
| Aufgabe | | Sei B [mm] (\vec{b_1},\vec{b_2}) [/mm] eine Basis des Vektorraums [mm] \IR^2. [/mm] Für welche Zahlen s,t [mm] \in \IR [/mm] ist dann die Menge C= [mm] (\vec{c_1},\vec{c_2}) [/mm] eine Basis, wenn [mm] \vec{c_1}:= s\vec{b_1}+\vec{b_2} [/mm] und [mm] \vec{c_2}:=\vec{b_1}+t\vec{b_2} [/mm] gilt? |
Ok ich leg mal los:
1) [mm] dim_\IR (\IR^2)=2 [/mm] , jawoll
[mm] 2)a*\vec{c_1}+b*\vec{c_2}=\vec{0} [/mm] muss gelten
[mm] 3)a(s*\vec{b_1}+\vec{b_2})+b*(\vec{b_1}+t*\vec{b_2})
[/mm]
[mm] \vec{b_1}(a*s+b)+\vec{b_2}(a+b*t)
[/mm]
So und diese beiden Klammerausdrücke müssen ja=0 sein, da wir ja eine nicht triviale Kombination von [mm] \vec{b_1} [/mm] und [mm] \vec{b_2} [/mm] haben wollen.
Dann hau ich beide Klammerausdrücke in ein lineares Gleichungssystem:
[mm] \vmat{ a*s+b=0 \\ a+b*t=0 }
[/mm]
Jetzt kann ich die erste Gleichung auf b umstellen und in die zweite Gleichung einsetzen:
b=-a*s in II)
a+(-a*s*t)=0
a(1-s*t)=0
So und es ist ja egal was in die Klammer für s und t kommt, a ist immer gleich 0 oder? Insbesondere wenn s und t 1 sind, kommt 0=0 raus.....und wenn a=0 ist ist b folglich auch Null (a wieder in zweite oder erste Gleichung gesetzt).
Ich weiß nicht ob es so richtig ist, weil gefragt wurde, für welche Zahlen t und s die Menge der Basis sind. Also für alle [mm] \IR [/mm] Zahlen?
Danke im Voraus!
|
|
| |
|
Hallo durden88,
> Sei B [mm](\vec{b_1},\vec{b_2})[/mm] eine Basis des Vektorraums
> [mm]\IR^2.[/mm] Für welche Zahlen s,t [mm]\in \IR[/mm] ist dann die Menge C=
> [mm](\vec{c_1},\vec{c_2})[/mm] eine Basis, wenn [mm]\vec{c_1}:= s\vec{b_1}+\vec{b_2}[/mm]
> und [mm]\vec{c_2}:=\vec{b_1}+t\vec{b_2}[/mm] gilt?
> Ok ich leg mal los:
>
> 1) [mm]dim_\IR (\IR^2)=2[/mm] , jawoll
> [mm]2)a*\vec{c_1}+b*\vec{c_2}=\vec{0}[/mm] muss gelten
> [mm]3)a(s*\vec{b_1}+\vec{b_2})+b*(\vec{b_1}+t*\vec{b_2})[/mm]
> [mm]\vec{b_1}(a*s+b)+\vec{b_2}(a+b*t)[/mm]
>
> So und diese beiden Klammerausdrücke müssen ja=0 sein, da
> wir ja eine nicht triviale Kombination von [mm]\vec{b_1}[/mm] und
> [mm]\vec{b_2}[/mm] haben wollen.
>
> Dann hau ich beide Klammerausdrücke in ein lineares
> Gleichungssystem:
>
> [mm]\vmat{ a*s+b=0 \\ a+b*t=0 }[/mm]
>
> Jetzt kann ich die erste Gleichung auf b umstellen und in
> die zweite Gleichung einsetzen:
>
> b=-a*s in II)
> a+(-a*s*t)=0
> a(1-s*t)=0
>
> So und es ist ja egal was in die Klammer für s und t
> kommt, a ist immer gleich 0 oder? Insbesondere wenn s und t
> 1 sind, kommt 0=0 raus.....und wenn a=0 ist ist b folglich
> auch Null (a wieder in zweite oder erste Gleichung
> gesetzt).
>
Wenn s=t=1 sind, dann stellen [mm]\vec{c_1}}, \ \vec{c_{2}}[/mm] keine Basis dar.
Nun, wenn [mm]\vec{c_1}}, \ \vec{c_{2}}[/mm] eine Basis bilden sollen,
dann muss [mm]a=b=0[/mm] gelten.
> Ich weiß nicht ob es so richtig ist, weil gefragt wurde,
> für welche Zahlen t und s die Menge der Basis sind. Also
> für alle [mm]\IR[/mm] Zahlen?
>
> Danke im Voraus!
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:10 Sa 12.11.2011 | | Autor: | durden88 |
ALso alle [mm] \IR [/mm] außer s=t=1?
|
|
|
| |
|
Hallo durden88,
> ALso alle [mm]\IR[/mm] außer s=t=1?
Nein, das ist nicht ganz richtig.
Berechne doch die Determinante Deines aufgestelleten Gleichungssytems.
Und untersuche wann die Lösung eindeutig ist.
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:27 Sa 12.11.2011 | | Autor: | durden88 |
Ok also:
b=-a*s
a=-b*t
Wenn s und t =1, dann is a=b? Aber was meinst du mit Konkret?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:42 Sa 12.11.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
mit s=t=1 ist st=1 also nicht lin unabh. aber st=1 hat doch auch die Lsung s=1/t und du solltest auch ohne GS sehen dass
v1+tv2=t*(1/t*v1+v2) ist die 2 vektoren also kolinear sind!
gruss leduart
|
|
|
|
