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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:14 Fr 12.01.2007 | | Autor: | scrax |
| Aufgabe | Pralinen durchlaufen nach der Herstellung eine so genannte Sichtkontrolle. Für eine bestimmte Pralinensorte weiß man, dass bei dieser Kontrolle 1/5 aller fehlerhaften Pralinen übersehen werden. Man überlegt deshalb, die Pralinen mehrmals durch die die Endkontrolle zu überprüfen.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass
a) nach genau n Kontrollen ein vorhandener Fehler noch nicht entdeckt wird?
b) bei n Kontrollen ein vorhandener Fehler mindestens einmal festgestellt wird? |
Hallo,
wir haben seit gestern ein neues Thema (Stochastik!!) und ich verstehe jetzt schon nichts mehr!! Bitte dringend um Hilfe!!!
Bei der oben genannten Aufgabe wollte ich ein Baumdiagramm erstellen und bereits nach den ersten Zweigen ( einmal für "mit Fehler 1/5 und "ohne Fehler 4/5) wusste ich nicht mehr wie es weiter gehen soll (ich geh davon aus, dass die Zweige falsch sind), denn wenn ich bereits 1/4 der fehlerhaften Pralinen aussortiere, dann kann ich ja nicht weiter machen, denn dann hab ich ja keine "nicht fehlerhaften" Pralinen mehr?!
Ich hoffe ihr könnt nachvollziehen was ich hier meine...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:39 Fr 12.01.2007 | | Autor: | hase-hh |
moin,
die wahrscheinlichkeit für einen nicht-entdeckten fehler ist
p= [mm] \bruch{1}{5}
[/mm]
wenn ich davon ausgehe, dass gefundene fehler aussortiert werden
würde ich sagen, die wahrscheinlichkeit für einen fehler nach n-maligem kontrolllauf ist
p= [mm] (\bruch{1}{5})^n
[/mm]
diese müßte man dann mit der gesamtanzahl der zu prüfenden pralinen malnehmen. damit erhielte man den erwartungswert (der hier eins sein soll) für die wahrscheinlichkeit für einen nicht-entdeckten fehler nach n-facher kontrolle.
oder sehe ich das nicht richtig?
gruß
wolfgang
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Hallo Katharina!
zu a)
wie Wolfgang dir schon schrieb beträgt die Wahrscheinlichkeit, daß man nach n Kontrollen den Fehler noch nicht entdeckt hat genau [mm] P(x=0)=(\bruch{1}{5})^{n}.
[/mm]
(x=0 heisst hierbei, daß das Merkmal "fehlerhaft" 0 mal (also nicht) festgestellt wird)
Dies lässt sich an einem einfachen Beispiel erläutern:
Wir nehmen an es werden 3 Kontrollen durchgeführt. Die Wahrscheinlichkeit, daß man den Fehler in der 1.Kontrolle übersieht beträgt (logischer Weise) [mm] \bruch{1}{5}. [/mm] Die Wahrscheinlichkeit, daß der fehler nun auch bei der 2.Kontrolle übersehen wird beträgt ebenfalls [mm] \bruch{1}{5} [/mm] (gleiche Wahrscheinlichkeit auch bei der 3.Kontrolle). Die Wahrscheinlichkeit, daß nun der Fehler bei der 1.Kontrolle UND bei der 2.Kontrolle UND bei der 3.Kontrolle übersehen wird beträgt [mm] P(x=0)=\bruch{1}{5}*\bruch{1}{5}*\bruch{1}{5} [/mm] (stochastische UND-Verknüpfung werden multipliziert).
Nach Potenzgesetzen zusammengefasst erhält man dementsprechend [mm] P(x=0)=(\bruch{1}{5})^{3}.
[/mm]
Wählt man nun nicht nur 3 sonder n Kontrollen erhält man [mm] P(x=0)=(\bruch{1}{5})^{n} [/mm] für die Wahrscheinlichkeit, daß der Fehler auch nach n Kontrollen nicht entdeckt wurde.
zu b)
Die Fragestellung ist zwar ein wenig "blödsinnig", wie ich finde, ich will sie dennoch lösen.(Erklärung für die "Blödsinnigkeit" am Ende)
Eines vorweg: Du solltest bei der Art Aufgaben immer auf die Wörter "mindestens", "höchstens" oder "genau" achten. Die sind wichtug, da die Aufgaben dann immer anders zu lösen sind)
Du sollst nun die Wahrscheinlichkeit ermitteln, daß ein Fehler bei n Kontrollen mindestens einmal gefunden wird. Das bedeutet, daß er entweder bei der 1.Kontrolle und in den folgenden Kontrollen nicht mehr. Das "mindestens" bedeutet aber auch, daß der Fehler sowohl in der 1.Kontrolle, also auch in einer oder mehreren der folgenden Kontrollen erkannt wird. Hie rkönnte man sich nun die Arbeit machen und alle möglichen Reihenfolgen des Entdeckens des Fehler durchrechnen oder man denk ein wenig nach: Das Ereignis, daß der Fehler mindestens einmal erkannt wird entspricht doch genau dem Gegenereignis dafür, daß der Fehler überhaupt nicht erkannt wird (vgl. Aufgabe a).
Ein Beispiel zu den Gegenereignissen:
Die Wahrscheinlichkeit, daß ich mit einem Würfel ne 1 würfle beträgt genau [mm] \bruch{1}{6}. [/mm] Die Wahrscheinlichkeit, daß ich keine 1 würfle entspricht genau der gegenteiligen Wahrscheinlichkeit, nämlich [mm] \bruch{5}{6} [/mm] (Wahrscheinlichkeiten von einem Ereignis und dem entsprechenden Gegenereignis ergeben immer 1).
Auf deine Aufgabe bezogen hieße dies also, daß die Wahrscheinlichkeit, bei n Kontrollen den Fehler mindestens einmal zu finden [mm] P(x\ge1)=1-P(x=0)=1-(\bruch{1}{5})^{n} [/mm] beträgt.
Hoffe ich konnte es einger Maßen verständlich erklären.
Nun zur "Blödsinnigkeit" der Aufgabe:
Wenn man die fehlerhafte Praline schon entdeckt hat, dann kann man sie nur ein zweites (oder drittes, oder viertes ...) Mal entdecken, wenn man die fehlerhafte Praline wieder zu den anderen Pralinen zurücklegt. Dies würde allerdings die n Kontrollen in Frage stellen (Was bringen einem die mehreren Kontrollen (ausser erhöhte Prüfkosten), wenn man fehlerhafte Produkte wieder in den Prüfkreislauf bringt?)
Gruß,
Tommy
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:43 Sa 13.01.2007 | | Autor: | scrax |
Hallo Tommy,
vielen Dank für Deine ausführliche Antwort.
Alles was du geschrieben hast konnte ich bestens nachvollziehen und genau das ist auch mein Problem: wenn mir jemand erklärt warum und weshalb, kann ich alles wunderbar verstehen, aber alleine komm ich dann nicht wirklich drauf.
Das was du so schön "blödsinnig" nennst, ist auch das was ich nicht verstehe, es ist für mich so unlogisch, dass ich auch nicht weiterdenken kann, weil für mich das einfach sinnlos und nicht nachvollziehbar ist...!?!
Weißt vielleicht was ich tun könnte um dieses Thema irgendwie zu kapieren? (der Tip, dass ich den einzelnen Begriffen mehr Bedeutung schenken sollte, war schon mal gut :)))
Ich habe nämlich dieses Halbjahr 15 Punkte in Mathe und ich möchte diese auch weiterhin behalten, aber so wie es jetzt aussieht (und das nach erst 3 Stunden!!), wird das leider nichts!
Ich mach diese Aufgabe nochmal morgen tagsüber und sehe ob ich das immernoch nach nachvollziehen kann und sonst hab ich noch 2 weitere Aufgaben, die ich hier veröffentlcihen werde...
Vielen Dank für Deine hilfe...
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