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***Frage nicht woanders aufs Netz gestellt***
Aufgabe 68 (Übungsaufgaben Stochastik für Naturwissenshaftler Uni Zürich)
Bitte meine Lösung mit kritischem Auge prüfen.
In einem Käfig sind n weibliche und n männliche Meerschweinchen. Ihr Geschlecht ist aber nicht ohne weiteres erkennbar. Wähle gleichzeitig und zufällig zwei Tiere aus. Mit [mm]p_n [/mm] bezeichnen wir die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die beiden verschiedenes Geschlecht haben.
a) Berechne [mm]p_n[/mm].
b) Bestimme den Grenzwert [mm] \lim_{n \to \infty}p_n [/mm]
Meine Lösung
a)
Alle möglichen Paare aus n+n = 2n auswählen = [mm]{2n \choose 2}[/mm]
Ein Weibchen auswählen geht auf n Arten
Ein Männlein auswählen geht auf n Arten.
[mm]p_n = {n^2 \over {2n \choose 2}}[/mm]
b)
Grenzwert
[mm] \lim_{n \to \infty}p_n = 0{,}5 [/mm]
weil
[mm]{n^2 \over {2n \choose 2}} [/mm] = [mm] {1 \over {2-{1 \over n}[/mm] = [mm] 0{,}5 [/mm]
wenn n über alle Massen wächst und dadurch [mm] {1 \over n}[/mm] verschwindet
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Hallo,
> Meine Lösung
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> a)
> Alle möglichen Paare aus n+n = 2n auswählen = [mm]{2n \choose 2}[/mm]
[mm]{2n \choose 2}[/mm] ist die Anzahl der Möglichkeiten 2 Meerschweinchen aus 2n Meerschweinchen auszuwählen.
>
> Ein Weibchen auswählen geht auf n Arten
> Ein Männlein auswählen geht auf n Arten.
Und [mm]n^{2}[/mm] ist die Anzahl der günstigsten Fälle ein Paar auszuwählen.
>
> [mm]p_n = {n^2 \over {2n \choose 2}}[/mm]
>
> b)
> Grenzwert
> [mm]\lim_{n \to \infty}p_n = 0{,}5[/mm]
>
> weil
> [mm]{n^2 \over {2n \choose 2}} [/mm] = [mm]{1 \over {2-{1 \over n}[/mm] =
> [mm]0{,}5[/mm]
>
> wenn n über alle Massen wächst und dadurch [mm]{1 \over n}[/mm]
> verschwindet
Stimmt.
Etwas ausführlicher:
[mm]\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \;p_n \; = \;\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \;\frac{{n^{2} }}
{{\left( {\begin{array}{*{20}c}
{2n} \\
2 \\
\end{array} } \right)}}\; = \;\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \;\frac{{n^{2} }}
{{n\;\left( {2n\; - \;1} \right)}}\; = \;\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \;\frac{1}
{{2\; - \;\frac{1}
{n}}}\; = \;\frac{1}
{2}[/mm]
Gruß
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:20 Do 28.04.2005 | | Autor: | BeniMuller |
Hallo MathePower
Besten Dank für die promte Antwort.
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Trotz des gleichzeitigen Ziehens ziehen wir einfach hintereinander:
1. Tier: passt mit Wahrsch. 1, da Geschlecht egal.
2. Tier: passt, falls anderes Geschlecht. Hierfür gibt es noch n Möglichkeiten (von dem Geschlecht wurde ja noch kein Tier gewählt) bei insgesamt 2*n-1 noch vorhandenen Tieren.
Somit ist p= n/(2*n-1). Für n nach unendlich wird das 2.
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