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| Aufgabe | | [mm] \integral_{}^{}{ \bruch{1}{(x^2+x+1)*\wurzel{x^2+x+1}} dx} [/mm] |
Hallo Leute,
habe die Abiturprüfungen zwar schon hinter mir, möchte diese Aufgabe jedoch aus persönlichem Interesse lösen.
Laut Aufgabenstellung geht es darum, das gegebene Integral duch mehrfache Substitution zu lösen.
Ich habe den Bruch zu [mm] \bruch{1}{(x^2+x+1)^(3/2)} [/mm] zusammengefasst, und danach [mm] x^2+x+1 [/mm] substituiert.
Daraus folgt:
[mm] \integral_{}^{}{ \bruch{1}{z^(3/2) * (2x+1)} dz}
[/mm]
Nun habe ich mir gedacht, dass ich entweder das 2x+1 oder das z^(3/2) substituieren muss, da laut Aufgabenstellung eine mehrfache Substitution gefordert ist.
Jedoch vereinfacht sich das Integral meiner Meinung dadurch nicht.
Wäre für Tips bzw den Lösungsweg sehr dankbar.
Danke im Voraus,
Alex
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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Hallo Alex und erstmal herzlich ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") ,
> [mm]\integral_{}^{}{ \bruch{1}{(x^2+x+1)*\wurzel{x^2+x+1}} dx}[/mm]
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> Hallo Leute,
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> habe die Abiturprüfungen zwar schon hinter mir, möchte
> diese Aufgabe jedoch aus persönlichen Interesse lösen.
> Laut Aufgabenstellung geht es darum, dass gegeben Integral
> duch mehrfache Substitution zu lösen.
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> Ich habe den Bruch zu [mm]\bruch{1}{(x^2+x+1)^(3/2)}[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> zusammengefasst, und danach [mm]x^2+x+1[/mm] substituiert.
> Daraus folgt:
>
> [mm]\integral_{}^{}{ \bruch{1}{z^(3/2) * (2x+1)} dz}[/mm]
Ah, das ist nicht gut, zwei Variablen im Integral zu haben.
Beginne hier: [mm]\int{\frac{1}{(x^2+x+1)^{3/2}} \ dx}[/mm] damit, in der Nennerklammer quadratisch zu ergänzen ...
Danach ist eine erste Substitution mit [mm]u=u(x):=x+\frac{1}{2}[/mm] möglich ...
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> Nun habe ich mir gedacht, dass ich entweder das 2x+1 oder
> das z^(3/2) substituieren muss, da laut Aufgabenstellung
> eine mehrfache Substitution gefordert ist.
> Jedoch vereinfacht sich das Integral meiner Meinung
> dadurch nicht.
> Wäre für Tips bzw den Lösungsweg sehr dankbar.
>
> Danke im Voraus,
>
> Alex
>
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt
Gruß
schachuzipus
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Erstmal ein Dankeschön an schachuzipus,
durch die quadratische Ergänzung lässt sich [mm] x^2+0,5 [/mm] wunderbar substituieren.
Nun habe ich das Integral also soweit vereinfach.
Nach einigem Überlegen weiß ich jedoch immer noch nicht, was ich als nächstes substituieren soll, ohne wieder eine zweie Variable im Integral stehen zu haben....
[mm] \integral_{}^{}{f(\bruch{1}{(u^2+0,75)^(3/2)}) du}
[/mm]
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Hallo saubaumau,
> Erstmal ein Dankeschön an schachuzipus,
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> durch die quadratische Ergänzung lässt sich [mm]x^2+0,5[/mm]
> wunderbar substituieren.
>
> Nun habe ich das Integral also soweit vereinfach.
> Nach einigem Überlegen weiß ich jedoch immer noch nicht,
> was ich als nächstes substituieren soll, ohne wieder eine
> zweie Variable im Integral stehen zu haben....
>
> [mm]\integral_{}^{}{f(\bruch{1}{(u^2+0,75)^(3/2)}) du}[/mm]
Das soll wohl heissen:
[mm]\integral_{}^{}{\bruch{1}{(u^2+0,75)^{3/2}} \ du}[/mm]
Jetzt liegt eine trigonometrische Substitution nahe:
[mm]u=\bruch{\wurzel{3}}{2}*\tan\left(v\right)[/mm]
Gruss
MathePower
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Danke für den Tip,
ich zweifle nicht daran, dass Dein Lösungsweg zum Ergebnis führt, jedoch daran, dass wir das mit solch (für mich) komplexen Substitutionen lösen sollen, da wir im Unterricht keine trigonometrischen Substitutionen verwendet haben, bzw dieses Thema nicht besprochen haben.
Gibt es einen simpleren, wenn auch längeren Weg ?
Wenn ja wäre ich dankbar, falls Ihr mir diesen näher bringen würdet.
Wenn nicht dann entspricht die Aufgabe wohl nicht unserem Unterrichtsniveau..
MfG
Alex
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:54 Mi 18.04.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Danke für den Tip,
>
> ich zweifle nicht daran, dass Dein Lösungsweg zum Ergebnis
> führt, jedoch daran, dass wir das mit solch (für mich)
> komplexen Substitutionen lösen sollen, da wir im
> Unterricht keine trigonometrischen Substitutionen verwendet
> haben, bzw dieses Thema nicht besprochen haben.
wenn ihr Substitution gelernt und [mm] $\tan'=1/\cos^2$ [/mm] gelernt habt, reicht das ja auch!
> Gibt es einen simpleren, wenn auch längeren Weg ?
> Wenn ja wäre ich dankbar, falls Ihr mir diesen näher
> bringen würdet.
> Wenn nicht dann entspricht die Aufgabe wohl nicht unserem
> Unterrichtsniveau..
Nein, aber ich kann Dir versuchen, zu erklären, wie Mathepower auf die Idee gekommen ist (sowas kannst Du auch selber versuchen, herauszufinden, indem Du erstmal den Tip befolgts und dann hoffentlich das Schema erkennst):
Es war
$ [mm] \integral_{}^{}{\bruch{1}{(u^2+0,75)^{3/2}} \ du} [/mm] $
Das kann man schreiben als
[mm] $$\int \frac{1}{\left(3/4\right)^{3/2}\left(\left(\frac{2}{\sqrt{3}}u\right)^2+1\right)^{3/2}}du$$
[/mm]
Und jetzt ist's wirklich am besten, wenn man sogar die Ableitung des Arkustangens kennt, um auf Mathepowers Subst. zu kommen. (Alternativ hat man ja die Regel für die Ableitung der Umkehrfunktion und kennt die des Tangens - damit sollte man auch weiterkommen sollen...)
Gruß,
Marcel
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Ok, vielen Dank Marcel,
ich sehen jetzt den Zusammenhang zwischen dem Integral und der Ableitung des arctan.
Muss ich nach diesem Schritt noch weiter substituieren ?
Wenn ja, wie oft ?
Ansonsten vielen Dank soweit, ihr habt mir sehr geholfen !
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:47 Mi 18.04.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Ok, vielen Dank Marcel,
>
> ich sehen jetzt den Zusammenhang zwischen dem Integral und
> der Ableitung des arctan.
>
> Muss ich nach diesem Schritt noch weiter substituieren ?
> Wenn ja, wie oft ?
das Dumme bei diesen Substitutionen ist wirklich: Man muss es einfach oft gemacht haben, um es richtig zu lernen - und die Erfahrungen damit machen, um "zu sehen, welche Substitution einen weiterbringt (sagen wir vielleicht besser: weiterbringen könnte!)".
Mal abgesehen davon, dass ich da ein wenig aus der Übung bin (was aber nicht schlimm ist - ich traue mir durchaus zu, trotzdem mit Mathepowers Tipp das ganze Ding zu lösen) - und durchaus dann auch mit dem berechtigten Hinweis "Na, dann rechne mal mit, damit Du da wieder ein wenig fitter wirst!":
Ich finde es sinnvoller, wenn Du einfach die Substitution auch unter Verwendungen meiner Rechnung durchführst, und schaust, ob Du alleine weiterkommst (und wenn's dann irgendwo hakt, dann fragst Du einfach nochmal) bzw. vll. das ganze Ding löst.
Glaub' mir: Integration mit Substitution beruht mehr auf Erfahrung, als man vll. denkt. Denn wie soll man Ideen bekommen, was man substitutieren könnte (da gehen dann ja auch Ableitungen ein), wenn man nicht genug Erfahrungen gemacht hat, um Bekanntes, was man vll. sogar mal fälschlicherweise bei einer anderen Subst. machen wollte, wiederzusehen?
Die meisten, die das "schnell und frei von Hand machen" und "schnell Ideen für eine gute Substitution haben/sehen", sind einfach darin geübt, weil sie es schon etliche mal immer und immer wieder gemacht haben - selbst, wenn sie an mancher harten Nuss verzweifelten oder vielleicht auch immer noch am Verzweifeln sind, weil sie irgendein Integral nicht gebändigt bekommen - egal, was sie da auch für tolle Subst.-Ideen austesten!
In der Schule geht das leider wirklich ein wenig unter: Dieses Verfahren ist etwas, wo man wirklich einfach nur Aufgaben rechnen und rechnen und wieder Aufgaben mal rechnen muss. Denn die Theorie ist halt toll, gute Ideen zur praktischen Anwendung zu finden, nicht immer wirklich offensichtlich!
> Ansonsten vielen Dank soweit, ihr habt mir sehr geholfen !
Gerne 
Gruß,
Marcel
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