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| Aufgabe | Skizzieren Sie den Integrationsbereich, ändern Sie die Integrationsreihenfolge und werten Sie die Integrale aus:
iii) [mm] \integral_{0}^{2}{\integral_{0}^{min{\wurzel{4-x^{2}}, x/3}}{x dy} dx} [/mm] |
Es geht um den Integrationsbereich:
0 [mm] \le [/mm] x [mm] \le [/mm] 2
0 [mm] \le [/mm] y \ le [mm] min{\wurzel{4-x^{2}}, x/3} [/mm]
Wenn ich das Minimum bestimmen will: [mm] min{\wurzel{4-x^{2}}, x/3} [/mm] mit
0 [mm] \le [/mm] x [mm] \le [/mm] 2, dann komme ich darauf, dass das Minimum = 0 ist.
Dann wären ja die Integrationsgrenzen für y für z.B. x = 0 oder x = 2:
0 [mm] \le [/mm] y [mm] \le [/mm] 0
Ich glaube nicht, dass das richtig ist. Wo ist da mein Fehler?
Wie kann ich allgemein den Integrationsbereich angeben?
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Du sollst ja nicht das Minimum über alle [mm]x \in [0,2][/mm] bilden, sondern für jedes [mm]x \in [0,2][/mm] das Minimum zweier Zahlen. So bekommst du eine Funktion. Setzen wir
[mm]u(x) = \sqrt{4-x^2} \, , \ \ v(x) = \frac{x}{3}[/mm]
so geht es um die Funktion [mm]g: \ [0,2] \to \mathbb{R}[/mm] mit
[mm]g(x) = \min \left\{ u(x) \, , \, v(x)} \right\} = \begin{cases} u(x) & \text{falls} \ u(x) \leq v(x) \\ v(x) & \text{falls} \ u(x) > v(x) \end{cases}[/mm]
Zeichne im I. Quadranten [mm]x,y \geq 0[/mm] den Viertelkreis um 0 vom Radius 2, das ist der Graph von [mm]u[/mm], dann die Halbgerade, die durch [mm]v(x)[/mm] gegeben wird. Und [mm]g(x)[/mm] ist nun für jedes [mm]x[/mm] immer der kleinere der beiden Werte [mm]u(x),v(x)[/mm]. Zusammen mit dem Intervall [mm][0,2][/mm] umrandet der Graph von [mm]g[/mm] also ein Tortenstück. Dieses Tortenstück ist der Integrationsbereich. Der Graph besteht aus der Strecke vom Ursprung bis zum Schnittpunkt von Halbgerade und Viertelkreis, an die sich ein kleiner Kreisbogen bis zum Ende des Intervalls anschließt.
Es ist zweckmäßig, den Schnittpunkt von Halbgerade und Viertelkreis zu berechnen. Seine Koordinaten braucht man sowohl bei der gegebenen Integrationsreihenfolge als auch, wenn man vertauscht.
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Danke, das habe ich jetzt richtig hinbekommen.
Mein Problem liegt jetzt beim Lösen des Integrals.
[mm] \integral_{0}^{2}{\integral_{0}^{min{\wurzel{4-x^{2}}, x/3}}{x dy} dx} [/mm] = [mm] \integral_{0}^{3\wurzel{\bruch{2}{5}}}{\integral_{0}^{x/3}}{x dy} [/mm] + [mm] \integral_{3\wurzel{\bruch{2}{5}}}^{2}{\integral_{0}^{wurzel{4-x^{2}}}}{x dy} [/mm] = [mm] \bruch{20 \wurzel{\bruch{2}{5}}}{15}
[/mm]
Bei Umkehr der Integrationsreihenfolge komme ich auf:
[mm] \integral_{0}^{\wurzel{\bruch{2}{5}}}{\integral_{0}^{min{\wurzel{4-yx^{2}}, 3y}}{x dy} dx} [/mm] = [mm] \integral_{0}^{\wurzel{\bruch{2}{5}}}{\integral_{0}^{3y}}{x dy} [/mm] + [mm] \integral_{0}^{\wurzel{\bruch{2}{5}}}{\integral_{0}^{wurzel{4-y^{2}}}}{x dy} [/mm] = [mm] \bruch{9 \wurzel{\bruch{2}{5}}}{15} [/mm] + [mm] \bruch{29 \wurzel{\bruch{2}{5}}}{15} [/mm] = [mm] \bruch{38 \wurzel{\bruch{2}{5}}}{15}
[/mm]
Das spricht ja dafür, dass ich im ersten Summanden [mm] \integral_{0}^{\wurzel{\bruch{2}{5}}}{\integral_{0}^{3y}}{x dy} [/mm] ein negatives Vorzeichen haben müsste, aber ich kann mir nicht erklären, wo ich es vergessen habe.
Kann mir bitte jemand helfen?
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Das Ergebnis der ersten Rechnung stimmt. Allerdings finde ich die Form [mm]\frac{4}{15} \cdot \sqrt{10}[/mm] schöner.
Bei der vertauschten Integrationsreihenfolge sind die Grenzen des inneren Integrals falsch. Schau dir noch einmal genau die Zeichnung an. Es ist nämlich hier gar keine Aufteilung in zwei Summanden nötig.
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Hmm, das versteh ich nicht.
Sind die Grenzen beider inneren Integrale falsch?
Warum ich glaube, dass man es in Summanden aufteilen muss:
Es handelt sich ja auch hier um 2 unterschiedliche Abschnitte.
Einmal ist von 0 [mm] \le [/mm] x [mm] \le 3\wurzel{\bruch{2}{5}} [/mm] eine lineare Funktion, nämlich [mm] \bruch{x}{3} [/mm] für 0 [mm] \le [/mm] y [mm] \le \bruch{2}{5}. [/mm] Sprich die Umkehrfunktion ist x= 3y.
Und von [mm] 3\wurzel{\bruch{2}{5}} \le [/mm] x [mm] \le [/mm] 2 ist es ein Kreissegment, von dem die Umkehrfunktion [mm] x=\wurzel{4-y^{2}}. [/mm]
Wieso muss man das nicht unterteilen?
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Hallo!
Mal ganz einfach: Zeichne die Funktionen auf Millimeterpapier. Das Integral ist dann die Summe der Flächen aller Quadrate des MM-Papiers, die innerhalb des Integrationsbereichs liegen. Diese Fläche ist die Summe der Flächen der MM-Papierkästchen.
Aktuell gehst du spaltenweise vor. Die unteren Kästchen liegen stets bei 0, die y-Position der oberen wird stückweise von den beiden Funktionen abhängig von x gegeben (Integration über y). Und dann addierst du die Flächen aller Spalten auf (Integration über x).
Alternativ kannst du zeilenweise vorgehen. Abhängig von y ergibt sich die x-Position des ersten Kästchens ganz links und des letzten ganz rechts. Diese Zeilen sind die Integration über x. Und danach kannst du die Zeilen aufsummieren, das ist die Integration über y. Du wirst sehen, du benötigst dann in deinem Fall keine Aufspaltung des Integrals!
Die Frage lautet, welches ist die größte und kleinste x-Position eines Kästchens abhängig von y? Das sind die neuen Integrationsgrenzen für x, natürlich gibts auch neue für y.
(Ich hoffe, das war jetzt nicht zu basic... Aber manchmal scheint man das Offensichtliche vor lauter merkwürdiger mathematischer Zeichen zu übersehen=
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Ich checks nicht, warum man das nicht aufteilen muss. Auch mit der basic-Erklärung nicht.
Ich hab ja in Abhängigkeit von y immer 2 x-Werte für ein y.
zb: für y= 0 ist einmal x=0 und einmal x=2
oder für y=0,5 ist einmal x = [mm] \bruch{3}{2} [/mm] und einmal x= [mm] \wurzel{\bruch{15}{4}}
[/mm]
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Es ist, wie du sagst, nur nicht ganz richtig interpretiert: Bei [mm]y=0[/mm] geht es - und jetzt Achtung! - VON [mm]x=0[/mm] BIS [mm]x = 2[/mm]. Und bei [mm]y=0{,}5[/mm] geht es VON [mm]x = \frac{3}{2}[/mm] BIS [mm]y = \frac{\sqrt{15}}{2}[/mm]. Das hast du jetzt für zwei konkrete [mm]y[/mm]-Werte gemacht. Und jetzt drücke das allgemein aus: Was ist das Start-[mm]x[/mm], was das End-[mm]x[/mm], wenn [mm]y[/mm] vorgegeben ist. Und dann hast du ja schon die Grenzen für das innere Integral als Terme in [mm]y[/mm].
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Ah jetzt hab ichs! Danke!
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