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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:10 Di 14.10.2008 | | Autor: | meep |
| Aufgabe | | Berechne [mm] \integral_D [/mm] f(x,y) = 2x*cos(x+y) mit D:= [mm] [-\pi,\pi] [/mm] x [mm] [0,\pi] [/mm] |
Hallo zusammen,
wollte nur schnell wissen, ob ich richtig gerechnet habe. Als Wert habe ich 0 erhalten.
Stimmt das, oder ist das weit am Ziel vorbei geschossen ?
MFG
meep
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Hallo meep,
> Berechne [mm]\integral_D[/mm] f(x,y) = 2x*cos(x+y) mit D:= [mm][-\pi,\pi][/mm] x [mm][0,\pi][/mm]
> Hallo zusammen,
>
> wollte nur schnell wissen, ob ich richtig gerechnet habe.
> Als Wert habe ich 0 erhalten.
>
> Stimmt das, oder ist das weit am Ziel vorbei geschossen ?
>
> MFG
>
> meep
DERIVE sagt mir, dass als Ergebnis [mm] $-8\pi$ [/mm] herauskommt ...
Zeige also mal her, wie du auf dein Ergebnis kommst.
Da muss wohl irgendwas schiefgelaufen sein, denn DERIVE verrechnet sich seltenst 
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:43 Di 14.10.2008 | | Autor: | meep |
na dann hier mal der gesamte rechenweg:
[mm] \integral_{0}^{\pi} \integral_{-\pi}^{\pi} [/mm] 2x*cos(x+y) dx dy
= [mm] \integral_{0}^{\pi} [/mm] [2* ( x*sin(x+y) + cos(x+y)] [mm] _{-\pi}^{\pi} [/mm]
= [mm] \integral_{0}^{\pi} 2*(\pi*sin(\pi+y) [/mm] + [mm] cos(\pi+y) [/mm] - ( [mm] -\pi*sin(-\pi+y) [/mm] + [mm] cos(-\pi+y))
[/mm]
= [mm] \integral_{0}^{\pi} 2*[(\pi*sin(\pi+y) [/mm] + [mm] cos(\pi+y) +\pi*sin(-\pi+y) -cos(-\pi+y)]
[/mm]
= 2 * [ [mm] -\pi*cos (2\pi) [/mm] - [mm] \pi [/mm] cos0 + sin [mm] (2\pi) [/mm] - sin 0 + [mm] \picos \pi [/mm] + [mm] \pi [/mm] cos [mm] (-\pi) [/mm] - sin [mm] (\pi) [/mm] + sin [mm] (-\pi) [/mm] ]
= 2 * [ [mm] -\pi [/mm] - [mm] \pi [/mm] + 0 - 0 + [mm] \pi -\pi [/mm] - 0 + 0 ) = - 4 [mm] \pi
[/mm]
Nun habe ich genau die hälfte des richtigen ergebnises heraus, irgendwie verwunderlich:)
ich hoffe ich hab keine tippfehler übersehen.
mfg
meep
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Hallo nochmal,
> na dann hier mal der gesamte rechenweg:
>
> [mm]\integral_{0}^{\pi} \integral_{-\pi}^{\pi}[/mm] 2x*cos(x+y) dx dy
>
> = [mm]\integral_{0}^{\pi}[/mm] [2* ( x*sin(x+y) + cos(x+y)] [mm]_{-\pi}^{\pi}[/mm]
>
> = [mm]\integral_{0}^{\pi} 2*(\pi*sin(\pi+y)[/mm] + [mm]cos(\pi+y)[/mm] - ( [mm]-\pi*sin(-\pi+y)[/mm] + [mm]cos(-\pi+y))[/mm]
>
> = [mm]\integral_{0}^{\pi} 2*[(\pi*sin(\pi+y)[/mm] + [mm]cos(\pi+y) +\pi*sin(-\pi+y) -cos(-\pi+y)][/mm]
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
Bis hierher richtig, fasse nun aber mal zuerst den ganzen Mist da im Integral zusammen:
[mm] $\sin(y\pm\pi)=-\sin(y), \cos(y\pm\pi)=-\cos(y)$
[/mm]
>
> = 2 * [ [mm]-\pi*cos (2\pi)[/mm] - [mm]\pi[/mm] cos0 + sin [mm](2\pi)[/mm] - sin 0 + [mm]\picos \pi[/mm] + [mm]\pi[/mm] cos [mm](-\pi)[/mm] - sin [mm](\pi)[/mm] + sin [mm](-\pi)[/mm] ]
>
> = 2 * [ [mm]-\pi[/mm] - [mm]\pi[/mm] + 0 - 0 + [mm]\pi -\pi[/mm] - 0 + 0 ) = - 4 [mm]\pi[/mm]
Ja, du hast nen Faktor 2 verloren, wo genau auch immer, fasse wie gesagt den Klumpatsch im Integral erst zusammen vor der zweiten Integration
Dann hast du (nachrechnen!) [mm] $\int\limits_{y=0}^{y=\pi}{-4\pi\sin(y) \ dy}=4\pi\left[\cos(y)\right]_{0}^{\pi}=4\pi(-1-1)=-8\pi$
[/mm]
>
> Nun habe ich genau die hälfte des richtigen ergebnises
> heraus, irgendwie verwunderlich:)
>
> ich hoffe ich hab keine tippfehler übersehen.
Ich persönlich finde die Integration andersherum, also erst nach y, dann nach x bequemer ...
>
> mfg
>
> meep
>
LG
schachuzipus
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:47 Di 14.10.2008 | | Autor: | ullim |
Hi,
ich habe das mal nachgerechnet, je nachdem wie man rechnet kommt 0 oder [mm] -8*\pi [/mm] heraus.
Mit [mm] a=-\pi [/mm] ; [mm] b=\pi [/mm] ; c=0 ; [mm] d=\pi [/mm] ; f(x,y)=2x*cos(x+y) gilt
[mm] \integral_{a}^{b} \left[ \left( \integral_{c}^{d}{f(x,y) dx } \right) dy \right]=0 [/mm] und
[mm] \integral_{a}^{b} \left[ \left( \integral_{c}^{d}{f(x,y) dy } \right) dx \right]=-8\pi
[/mm]
falls Mathcad sich nicht verrechnet hat.
mfg ullim
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:49 Di 14.10.2008 | | Autor: | meep |
wie kann ich nun entscheiden was richtig ist ? :)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:02 Di 14.10.2008 | | Autor: | XPatrickX |
Ich würd sagen standardmäßig gibt das erste Intervall die Grenzen für die Integration über x an und das zweite dann für die Integration über y.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:04 Di 14.10.2008 | | Autor: | ullim |
Hi,
das hängt von der Aufgabenstellung ab, in welchem Bereich x und y variieren. Ich kann das aus der Aufgabenstellung auch nicht erkennen.
mfg ullim
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:07 Di 14.10.2008 | | Autor: | meep |
ja aber das müsste doch die gleiche fläche ergeben, das ist was mich so stutzig macht
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Hallo ullim,
>
> ich habe das mal nachgerechnet, je nachdem wie man rechnet
> kommt 0 oder [mm]-8*\pi[/mm] heraus.
>
> Mit [mm]a=-\pi[/mm] ; [mm]b=\pi[/mm] ; c=0 ; [mm]d=\pi[/mm] ; f(x,y)=2x*cos(x+y) gilt
>
>
> [mm]\integral_{a}^{b} \left[ \left( \integral_{c}^{d}{f(x,y) dx } \right) dy \right]=0[/mm]
> und
>
> [mm]\integral_{a}^{b} \left[ \left( \integral_{c}^{d}{f(x,y) dy } \right) dx \right]=-8\pi[/mm]
>
> falls Mathcad sich nicht verrechnet hat.
>
> mfg ullim
was ist denn da im ersten Integral los?
Die Grenzen stimmen doch nicht
Das äußere Integral nach dy geht doch von 0 bis [mm] \pi, [/mm] das innere Integral über dx von [mm] -\pi [/mm] bis [mm] \pi
[/mm]
Es kommt egal in welcher Integrationsreihenfolge [mm] -8\pi [/mm] heraus ...
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:12 Di 14.10.2008 | | Autor: | meep |
ok danke für die hilfe, muss gleich mal schauen wo mein rechenfehler liegt
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:17 Di 14.10.2008 | | Autor: | ullim |
Hi,
wenn Du meinst es gilt [mm] x\in[-\pi,\pi] [/mm] und [mm] y\in[0,\pi] [/mm] dann hast Du recht. Ansonsten stand bei meiner Antwort mehr im Vordergrund den Wert 0 des Integrals zu erklären der vermutet wurde und zu zeigen, unter welchen Gründen das zustande kommen konnte.
mfg ullim
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