Mehrfachintegral bestimmen < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Berechnen Sie die Inhalte folgender beschränkter Mengen des R3 (Skizze!):
M = { [mm] (x_{1}, x_{2}, x_{3})|0 \le x_{1} \le [/mm] h, [mm] |x_{2}| \le ax_{1}, |x_{3}| \le ax_{1} [/mm] };a, h ∈ R, a > 0, h > 0 |
Ich kann mir die Sache einfach nicht vorstellen, und ich weiß nicht genau was ich mit dem Betrag anstelle. Also von wo nach wo ich jetzt integriere und was genau der Integrand sein soll.
Deshalb fällt es mir schwer die Rechnung anzuschreiben, ich habs trotzdem mal so versucht:
[mm] \integral_{0}^{h}\integral_{-ax_{1}}^{ax_{1}}\integral_{-ax_{1}}^{ax_{1}} ({x_{3} ) dx_{1} dx_{2} dx_{3}}
[/mm]
Könntet ihr mir ein wenig helfen?
Danke!
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Hallo,
> Berechnen Sie die Inhalte folgender beschränkter Mengen
> des R3 (Skizze!):
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> Ich kann mir die Sache einfach nicht vorstellen, und ich
> weiß nicht genau was ich mit dem Betrag anstelle. Also von
> wo nach wo ich jetzt integriere und was genau der Integrand
> sein soll.
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> Deshalb fällt es mir schwer die Rechnung anzuschreiben,
> ich habs trotzdem mal so versucht:
>
> [mm]\integral_{0}^{h}\integral_{-ax_{1}}^{ax_{1}}\integral_{-ax_{1}}^{ax_{1}} ({x_{3} ) dx_{1} dx_{2} dx_{3}}[/mm]
>
> Könntet ihr mir ein wenig helfen?
>
> Danke!
So wie es aussieht, liegst du eigentlich schon fast richtig, vorausgesetzt deine Menge M sieht so aus: [mm] $M=\left\{(x_1,x_2,x_3)^t\mid 0\leqslant x_1 \leqslant h, \lvert x_2\rvert \leqslant ax_1, \lvert x_3\rvert \leqslant ax_1\right\}, \quad [/mm] a, [mm] h\in(0,\infty)$, [/mm] allerdings solltest du über $1$ integrieren, dein Integral sollte also folgendermaßen aussehen:
[mm] $\int_0^h \int_{-ax_1}^{ax_1}\int_{-ax_1}^{ax_1} 1\,\mathrm{d}x_3\,\mathrm{d}x_2\,\mathrm{d}x_1$. [/mm] Jetzt musst du nur noch nacheinander nach den drei Variablen integrieren, also quasi so:
[mm] $\int_0^h \left(\int_{-ax_1}^{ax_1}\left(\int_{-ax_1}^{ax_1} 1\,\mathrm{d}x_3\right)\,\mathrm{d}x_2\right)\,\mathrm{d}x_1$. [/mm]
Echt interessant, was man heutzutage so an Gymnasien in der achten Klasse so in Mathe geboten bekommt. Da könnte ich ja glatt neidisch werden.
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Danke für die schnelle Antwort, das 8. Gym stimmt wohl nichtmehr ganz. Nein muss das im Zuge meines Informatik Studiums lösen.
Leider kann ich deine Änderungen an der Menge nicht ganz nachvollziehen...
Nundenn, dann rechne ich mal weiter:
Zuerst rechne ich wie gesagt mal das innere Integral:
[mm] \int_{-ax_1}^{ax_1} [/mm] ( 1 ) [mm] {d}x_3\
[/mm]
Weil der Integrand 1 ist wird er zu [mm] x_3\
[/mm]
[mm] \int_{-ax_1}^{ax_1} [/mm] ( 1 ) [mm] {d}x_3\ [/mm] = [mm] [x_3\ [/mm] ] --> [mm] x_3\ [/mm] = [mm] ax_1\
[/mm]
= [mm] ax_1\ [/mm] - [mm] (-ax_1\ [/mm] ) = [mm] 2ax_1\
[/mm]
___________________
[mm] \int_{-ax_1}^{ax_1} [/mm] ( [mm] 2ax_1\ [/mm] ) [mm] {d}x_2\ [/mm]
Jetzt habe ich kein [mm] x_2\ [/mm] im Term also:
[mm] \int_{-ax_1}^{ax_1} [/mm] ( [mm] 2ax_1\ [/mm] ) [mm] {d}x_2\ [/mm] = [mm] [2ax_1\ x_2\ [/mm] ] --> [mm] x_2\ [/mm] = [mm] ax_1\
[/mm]
= [mm] 4a^{2}x_{1}^{2}
[/mm]
__________________
[mm] \integral_{0}^{h} [/mm] ( [mm] 4a^{2}x_{1}^{2} [/mm] ) [mm] {d}x_1\ [/mm] = [mm] 4a^{2} h^{2}
[/mm]
Welchen Wert hat jetzt a und h?
Ist das korrekt?
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Stimmt, das hab ich wohl vergessen...
[mm]\integral_{0}^{h}[/mm] ( [mm]4a^{2}x_{1}^{2}[/mm] ) [mm]{d}x_1\[/mm] = [mm] \bruch{4}{3}a^{2}x_{1}^{3} [/mm] = [mm] \bruch{4}{3}a^{2}h^{3}
[/mm]
Ich hab noch ein paar Verständnis Fragen, damit ich auch genau weiß was ich tue.^^
Der Integrand in der aufgestellten Funktion war ja zu Beginn 1, warum habe ich 1 gewählt?
So, dieses Ergebnis stellt jetzt das Volumen der Pyramide dar. Deswegen taucht auch das [mm] h^{3} [/mm] als Parameter auf?
Was ist der Denkprozess, damit ich selber herausfinden kann das das eine Pyramide ist?
Vielen Dank für die Hilfe!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:44 Di 04.06.2013 | | Autor: | chrisno |
> Stimmt, das hab ich wohl vergessen...
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> [mm]\integral_{0}^{h}[/mm] ( [mm]4a^{2}x_{1}^{2}[/mm] ) [mm]{d}x_1\[/mm] =
> [mm]\bruch{4}{3}a^{2}x_{1}^{3}[/mm] = [mm]\bruch{4}{3}a^{2}h^{3}[/mm]
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> Ich hab noch ein paar Verständnis Fragen, damit ich auch
> genau weiß was ich tue.^^
>
> Der Integrand in der aufgestellten Funktion war ja zu
> Beginn 1, warum habe ich 1 gewählt?
Weil keine Einheiten angegeben sind. Integriere mal zur Probe einen Würfel. Wenn die Kantelänge a in Inch gegeben wäre, das Volumen aber in Kubikzentimetern herauskommmen soll, dann wäre ein anderer Faktor nötig.
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> So, dieses Ergebnis stellt jetzt das Volumen der Pyramide
> dar. Deswegen taucht auch das [mm]h^{3}[/mm] als Parameter auf?
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> Was ist der Denkprozess, damit ich selber herausfinden kann
> das das eine Pyramide ist?
Nimm alle erlaubten Werte für x1 und begib Dich an den jeweiligen Ort der x1-Achse. Von dort gehst Du dann senkrecht zu den jeweils erlaubten Werten von x2 und x3. Wo musst Du immer anhalten. Am deutlichsten siehst Du es bei der Spitze und bei der Grundfläche.
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> Vielen Dank für die Hilfe!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:04 Di 04.06.2013 | | Autor: | Richie1401 |
Hallo,
der Hinweis in der Aufgabenstellung war gar nicht mal so dumm. Skizziere die Menge! Du kannst auch konkret mal h=2 und a=1 oder andere Zahlenwerte einsetzen. Dann bekommst du eine gute Anschauung der Menge.
Kommt dir das Bild irgendwie bekannt vor? Wenn ja, dann kannst du in vielen Formelsammlungen nachschauen, was für eine Formel nach der Integration herauskommen müsste! So kannst du schnell selbst überprüfen, ob deine Integration richtig ist.
Hinweis: Nein, es ist kein Kegel, und auch keine Kugel, aber es ist eine Py....
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![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]"){kind=small}
