Mehrfachintegral Kegelvolumen < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:07 Di 17.03.2009 | | Autor: | S-K |
| Aufgabe | Aufgabe
a) Skizzieren Sie das Gebiet B, das durch den Kegel $ [mm] z²=\bruch{H²}{R²}(x²+y²) [/mm] $ und die Ebene z=H (H>0) begrenzt wird.
b) Berechnen Sie das Dreifachintegral durch Übergang zu Zylinderkoordinaten $ [mm] \integral\integral_{B}\integral [/mm] $ dxdydz |
Hallo zusammen,
diese Aufgabe wurde ja ja schon in folgendem Artikel behandelt:
![[]](/images/popup.gif) https://matheraum.de/read?t=237776&v=c
Im letzten Posting verstehe ich nicht, wieso vom z-Integral zum r-Integral der Faktor 2 nicht dabei ist. Bei meiner Berechnung komme ich letztendlich auf [mm] \bruch{2}{3}HR^2\pi [/mm] (habe in der Reihenfolge [mm] z,r,\phi [/mm] integriert), wegen
[mm] \integral_{\phi=0}^{2\pi}{\bruch{1}{3}HR^2 d\phi}=\bruch{1}{3}HR^2*2\pi
[/mm]
Das entspricht ja leider nicht der Volumenformel eines Kegels
Ich freue mich auf eine Antwort
Grüße
S-K
P.S.: Der Ausgangsartikel ist schon knappe 2 Jahre alt, deshalb habe ich einen neuen erstellt.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Aufgabe
> a) Skizzieren Sie das Gebiet B, das durch den Kegel
> [mm]z²=\bruch{H²}{R²}(x²+y²)[/mm] und die Ebene z=H (H>0) begrenzt
> wird.
> b) Berechnen Sie das Dreifachintegral durch Übergang zu
> Zylinderkoordinaten [mm]\integral\integral_{B}\integral[/mm] dxdydz
> Hallo zusammen,
>
> diese Aufgabe wurde ja ja schon in folgendem Artikel
> behandelt:
>
> https://matheraum.de/read?t=237776&v=c
>
> Im letzten Posting verstehe ich nicht, wieso vom z-Integral
> zum r-Integral der Faktor 2 nicht dabei ist. Bei meiner
> Berechnung komme ich letztendlich auf [mm]\bruch{2}{3}HR^2\pi[/mm]
> (habe in der Reihenfolge [mm]z,r,\phi[/mm] integriert), wegen
> [mm]\integral_{\phi=0}^{2\pi}{\bruch{1}{3}HR^2 d\phi}=\bruch{1}{3}HR^2*2\pi[/mm]
>
> Das entspricht ja leider nicht der Volumenformel eines
> Kegels
Wie wär's mit
[mm]\iiint\limits_B\, dx\,dy\,dz=\int\limits_0^H\int\limits_0^{2\pi}\int\limits_0^{\frac{R}{H}z}r\,dr\,d\varphi\,dz=\int\limits_0^H\int\limits_0^{2\pi}\frac{1}{2}\left(\frac{R}{H}z\right)^2\,d\varphi\,dz=\int\limits_0^H 2\pi\frac{R^2}{2H^2}\, dz=\frac{1}{3}\pi\frac{R^2}{H^2}\cdot H^3=\frac{1}{3}\pi R^2 H[/mm]
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