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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:16 So 22.05.2011 | | Autor: | Kato |
| Aufgabe | | Man berechne das Integral [mm] \integral_{D}{(x^2+y^2)\,dx dy} [/mm], wobei [mm] D = \{(x, y) \in \IR^2: x \ge 0, y \ge 0, 2 < xy < 4, 1 < x^2-y^2 < 9\} [/mm]. |
Guten Abend liebe Mathefreunde
ich soll diese Aufgabe mithilfe der mehrdimensionalen Substitution lösen:
[mm] \Phi: T \to \Omega [/mm]
[mm] \Phi (u, v) = (x, y) = (X(u,v), Y(u,v)) [/mm]
[mm]\integral_{\Omega}{f(x,y)\, d\mu (x, y)} = \integral_{T}{f(X(u,v), Y(u,v)) |det(d_{(u,v)}\Phi)| d\mu (u, v)}[/mm].
Folgende Transformation wurde uns gegeben:
[mm] \Phi \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x^2-y^2 \\ 2xy \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} u \\ v \end{bmatrix} [/mm]
[mm] \Phi: D \to D' [/mm]
Für Gebiet D und das transformierte Gebiet D' habe ich mir Skizzen angefertigt. Dabei ist D' ein Rechteck mit Eckpunkten (1,4) (1,8) (9,4) (9,8).
Die Jacobi-Matrix lautet [mm] J_(x,y)\Phi = \begin{bmatrix} 2x & 2y \\ -2y & 2x \end{bmatrix} [/mm] mit Determinante [mm] 4(x^2 [/mm] + [mm] y^2). [/mm]
Soweit bin ich. Allerdings verwirren mich die nachfolgenden Schritte im höchsten Maße. Denn wie bereits oben geschrieben ist [mm] \Phi: D \to D' [/mm] praktisch in die falsche Richtung und die Umkehrfunktion [mm] \Phi^{-1} [/mm] kann ich nicht bestimmen, bzw. soll nach WolframAlpha auch ganz unschön aussehen.
Ich weiß gerade wirklich nicht mehr weiter und bin für jede Hilfe dankbar.
Liebe Grüße
Kato
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Hallo Kato,
> Man berechne das Integral [mm]\integral_{D}{(x^2+y^2)\,dx dy} [/mm],
> wobei [mm]D = \{(x, y) \in \IR^2: x \ge 0, y \ge 0, 2 < xy < 4, 1 < x^2-y^2 < 9\} [/mm].
>
> Guten Abend liebe Mathefreunde
>
> ich soll diese Aufgabe mithilfe der mehrdimensionalen
> Substitution lösen:
> [mm]\Phi: T \to \Omega[/mm]
> [mm]\Phi (u, v) = (x, y) = (X(u,v), Y(u,v))[/mm]
>
> [mm]\integral_{\Omega}{f(x,y)\, d\mu (x, y)} = \integral_{T}{f(X(u,v), Y(u,v)) |det(d_{(u,v)}\Phi)| d\mu (u, v)}[/mm].
>
> Folgende Transformation wurde uns gegeben:
> [mm]\Phi \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x^2-y^2 \\ 2xy \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} u \\ v \end{bmatrix}[/mm]
>
> [mm]\Phi: D \to D'[/mm]
>
> Für Gebiet D und das transformierte Gebiet D' habe ich mir
> Skizzen angefertigt. Dabei ist D' ein Rechteck mit
> Eckpunkten (1,4) (1,8) (9,4) (9,8).
>
> Die Jacobi-Matrix lautet [mm]J_(x,y)\Phi = \begin{bmatrix} 2x & 2y \\ -2y & 2x \end{bmatrix}[/mm]
> mit Determinante [mm]4(x^2[/mm] + [mm]y^2).[/mm]
>
> Soweit bin ich. Allerdings verwirren mich die nachfolgenden
> Schritte im höchsten Maße. Denn wie bereits oben
> geschrieben ist [mm]\Phi: D \to D'[/mm] praktisch in die falsche
> Richtung und die Umkehrfunktion [mm]\Phi^{-1}[/mm] kann ich nicht
> bestimmen, bzw. soll nach WolframAlpha auch ganz unschön
> aussehen.
Die Umkehrfunktion brauchst Du nicht zu bestimmen,
vielmehr ist die inverse Determinante der erhaltenen
Jacobi-Matrix einzusetzen.
>
> Ich weiß gerade wirklich nicht mehr weiter und bin für
> jede Hilfe dankbar.
>
> Liebe Grüße
>
> Kato
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:11 So 22.05.2011 | | Autor: | Kato |
Guten Abend MathePower
danke erst mal für deine Antwort.
> Die Umkehrfunktion brauchst Du nicht zu bestimmen,
> vielmehr ist die inverse Determinante der erhaltenen
> Jacobi-Matrix einzusetzen.
Sry, inverse Determinante sagt mir jetzt nicht direkt etwas.
Ist das jetzt einfach [mm] \bruch{1}{4(x^2 + y^2)} [/mm]?
Oder muss ich erst die Jacobi-Matrix invertieren und dann die Determinante bilden?
Außerdem stehe ich immer noch vor dem Problem, dass ich mit
[mm]\Phi \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x^2-y^2 \\ 2xy \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} u \\ v \end{bmatrix}[/mm]
[mm]\Phi: D \to D'[/mm]
[mm]\integral_{D'}{f(u,v)\, d\mu (u, v)} = \integral_{D}{f(x, y) |det(d_{(u,v)}\Phi)| d\mu (x, y)}[/mm]
erhalte.
> Gruss
> MathePower
Lieber Gruß
Kato
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Hallo Kato,
> Guten Abend MathePower
>
> danke erst mal für deine Antwort.
>
>
> > Die Umkehrfunktion brauchst Du nicht zu bestimmen,
> > vielmehr ist die inverse Determinante der erhaltenen
> > Jacobi-Matrix einzusetzen.
>
> Sry, inverse Determinante sagt mir jetzt nicht direkt
> etwas.
> Ist das jetzt einfach [mm]\bruch{1}{4(x^2 + y^2)} [/mm]?
Genau das ist mit inverser Determinante gemeint.
> Oder
> muss ich erst die Jacobi-Matrix invertieren und dann die
> Determinante bilden?
>
> Außerdem stehe ich immer noch vor dem Problem, dass ich
> mit
>
> [mm]\Phi \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x^2-y^2 \\ 2xy \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} u \\ v \end{bmatrix}[/mm]
>
> [mm]\Phi: D \to D'[/mm]
>
> [mm]\integral_{D'}{f(u,v)\, d\mu (u, v)} = \integral_{D}{f(x, y) |det(d_{(u,v)}\Phi)| d\mu (x, y)}[/mm]
>
> erhalte.
>
> > Gruss
> > MathePower
>
> Lieber Gruß
>
> Kato
>
Gruss
MathePower
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