Mehrfaches Münzwerfen < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Wir werfen eine gezinkte Münze mehrfach, mit p [mm] \in [/mm] (0,1). Sei [mm] X_i [/mm] die Zufallsvariable, die beschreibt, wenn beim ersten mal Kopf kommt.
a) Welche Verteilung beschreibt [mm] X_i
[/mm]
b) Bestimme die bedingte Wahrscheinlichkeitsverteilung von [mm] X_i, [/mm] geben beim ersten Wurf kam Zahl. Gebe außerdem den Wertebereich dieser Verteilung an.
c) Schätze [mm] X_i [/mm] mit Hilfe der Markov-Ungl. für [mm] P(X\le [/mm] 4) nach oben ab. |
Hi, bei dieser Aufgabe habe ich so einige Ideen, weiß aber nicht, ob die so richtig sind.
a) Also hier z.B., weiß nicht, ich glaube dieses Experiment könnten zwei Verteilungen beschreiben oder?
Ein mal die Bernoulliverteilung mit P(X=1)=p. und dann noch einmal die Geo.-verteilung mit [mm] P(X=k)=p(1-p)^{k-1}, [/mm] setzen wir jetzt [mm] p=\bruch{1}{2}, [/mm] so erhalten wir:
[mm] P(X=k)=\bruch{1}{2}(\bruch{1}{2})^{k-1}
[/mm]
So meinte erste Frage, sind hier beide Verteilungen richtig?? Oder ist beides falsch, was ich gemacht habe? Das mit dem [mm] \bruch{1}{2} [/mm] müsste doch richtig sein, oder? man hat ja immer 50% entweder Kopf oder Zahl zu bekommen.
b) So hier siehts schon bisschen schwieriger aus. Ich habe das so gemacht: Für die bedingte W.fkt. gilt:
[mm] P(X_i=1|X_1=0)=\bruch{P(X_2=1,X_1=0)}{P(X_1=0)}
[/mm]
damit bezeichnet [mm] X_i=1 [/mm] das Kopf kommt und [mm] X_1=0 [/mm] das Zahl schon kam.
Ist das so richtig? Ich jetzt aber auch nicht, wie ich [mm] \bruch{P(X_2=1,X_1=0)}{P(X_1=0)} [/mm] weiter berechnen kann.
Kann mir vielleicht jemand helfen? Wäre echt nett.
Grüße
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:00 Fr 19.02.2010 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Steve,
(Hat es irgendeinen tieferen Sinn, dass die Zufallsgröße aus der Aufgabe den merkwürdigen Namen [mm] $X_i$ [/mm] trägt, ohne dass i aus irgendeiner Indexmenge stammt? Ich schlage vor, wir nennen sie der Einfachheit halber einfach X, so wie du das anscheinend bei deinen Ansätzen zur a) auch getan hast.)
Kannst du die Aufgabenstellung bei c) bitte nochmal genau kontrollieren? Kommt mir etwas merkwürdig vor...
> a) Also hier z.B., weiß nicht, ich glaube dieses
> Experiment könnten zwei Verteilungen beschreiben oder?
>
> Ein mal die Bernoulliverteilung mit P(X=1)=p.
Wäre X Bernoulli-verteilt, könnte die Zufallsgröße (von Nullmengen mal abgesehen) nur die Werte 0 und 1 annehmen. Dagegen kann die Anzahl der Würfe, bis zum ersten Mal Kopf geworfen wird, sehr wohl auch 2 oder 3 oder 4 oder... sein.
> und dann noch
> einmal die Geo.-verteilung mit [mm]P(X=k)=p(1-p)^{k-1},[/mm]
Genau! (Ich nehme dabei an, dass p für die Wahrscheinlichkeit, mit der Münze beim einfachen Werfen Kopf zu erhalten, ist.)
> setzen wir jetzt [mm]p=\bruch{1}{2},[/mm]...
> Das mit dem [mm]\bruch{1}{2}[/mm] müsste doch richtig sein, oder?
> man hat ja immer 50% entweder Kopf oder Zahl zu bekommen.
Nein, die Münze ist ja gezinkt. Die Wahrscheinlichkeit für Kopf ist gemäß Aufgabenstellung irgendeine Zahl [mm] $p\in(0,1)$.
[/mm]
Viele Grüße
Tobias
|
|
|
| |
|
Hi Tobias,
> (Hat es irgendeinen tieferen Sinn, dass die Zufallsgröße aus der Aufgabe den merkwürdigen Namen $ [mm] X_i [/mm] $ trägt, ohne dass i aus irgendeiner Indexmenge stammt? Ich schlage vor, wir nennen sie der Einfachheit halber einfach X, so wie du das anscheinend bei deinen Ansätzen zur a) auch getan hast.)
> Kannst du die Aufgabenstellung bei c) bitte nochmal genau kontrollieren? Kommt mir etwas merkwürdig vor...
Die Sache ist die, die genaue Aufgabenstellung habe ich nicht hier. Ich habe die Aufgabe nur in einer Klausur gesehen, durfte sie mir aber nicht kopieren. Und da hier vom mehrfachen Werfen die Rede ist, dachte ich, dass dort [mm] X_i [/mm] stand. Kann auch falsch sein, das weiß ich leider nicht mehr.
Und bei der c) genauso. Es kann auch gut sein, dass dort stand: Schätzen Sie das ganze nach unten ab. Ich weiß nur, dass man sowas machen musste:
P(|X| [mm] \le [/mm] 4)=1-P(|X| [mm] \ge [/mm] 5) und jetzt mit Markov
Ok dann machen wir das ganze mit der Geo. Verteilung.
d.h. Lösung a) Geometrische Verteilung mit [mm] P(X=k)=p(1-p)^{k-1}
[/mm]
b) Wie machen wir dann jetzt die b)? Wie kann ich angeben, dass zuerst Zahl kam??
grüße
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:23 Fr 19.02.2010 | | Autor: | tobit09 |
> Und bei der c) genauso. Es kann auch gut sein, dass dort
> stand: Schätzen Sie das ganze nach unten ab. Ich weiß
> nur, dass man sowas machen musste:
>
> P(|X| [mm]\le[/mm] 4)=1-P(|X| [mm]\ge[/mm] 5) und jetzt mit Markov
Alles klar, dann passt es!
> Ok dann machen wir das ganze mit der Geo. Verteilung.
>
> d.h. Lösung a) Geometrische Verteilung mit
> [mm]P(X=k)=p(1-p)^{k-1}[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> b) Wie machen wir dann jetzt die b)? Wie kann ich angeben,
> dass zuerst Zahl kam??
Schreibe ich gleich im b)-Threadteil.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:10 Fr 19.02.2010 | | Autor: | tobit09 |
> b) So hier siehts schon bisschen schwieriger aus. Ich habe
> das so gemacht: Für die bedingte W.fkt. gilt:
>
> [mm]P(X_i=1|X_1=0)=\bruch{P(X_2=1,X_1=0)}{P(X_1=0)}[/mm]
>
> damit bezeichnet [mm]X_i=1[/mm] das Kopf kommt und [mm]X_1=0[/mm] das Zahl
> schon kam.
Was für eine Zufallsvariable meinst du mit [mm] $X_1$?
[/mm]
Wenn A das Ereignis "beim ersten Wurf kam Zahl" bezeichnet, ist $P(X=n|A)$ für alle [mm] $n\in\IN\setminus\{0\}$ [/mm] oder meinetwegen auch nur für alle [mm] $n\in\IN\setminus\{0,1\}$ [/mm] (warum?) zu berechnen. Wie lässt sich A mithilfe von $X$ darstellen?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:18 Fr 19.02.2010 | | Autor: | tobit09 |
> Wie lässt sich A mithilfe von [mm]X[/mm] darstellen?
Sehe gerade, dass das wohl gar nicht nötig ist, da sich die benötigten Eigenschaften von A auch direkt dem Sachzusammenhang entnehmen lassen. Eine exakte Modellbildung scheint bei dieser Aufgabe ja gar nicht gefordert zu sein.
|
|
|
| |
|
Ok, dann machen wir mal hier weiter. Die anderen Sachen habe ich oben nochmal versucht zu beantworten.
d.h. Lösung a) Geometrische Verteilung mit $ [mm] P(X=k)=p(1-p)^{k-1} [/mm] $
b)
> $ [mm] P(X_i=1|X_1=0)=\bruch{P(X_2=1,X_1=0)}{P(X_1=0)} [/mm] $
>
> damit bezeichnet $ [mm] X_i=1 [/mm] $ das Kopf kommt und $ [mm] X_1=0 [/mm] $ das Zahl
> schon kam.
> Was für eine Zufallsvariable meinst du mit $ [mm] X_1 [/mm] $?
Ok das war falsch gedacht, dachte ja hier, man kann es vielleicht auch mit Bernoulli machen.
> Wenn A das Ereignis "beim ersten Wurf kam Zahl" bezeichnet, ist $ P(X=n|A) $ für alle $ [mm] n\in\IN\setminus\{0\} [/mm] $ oder meinetwegen auch nur für alle $ [mm] n\in\IN\setminus\{0,1\} [/mm] $ (warum?)
Naja, [mm] n\in\IN\setminus\{0,1\} [/mm] hat sicherlich was damit zu tun, dass p [mm] \in [/mm] (0,1) ist, richtig?
d.h. meine bedingte W.fkt. ist in dieser Aufgabe:
Sei A das Ereignis "beim ersten Wurf kam Zahl" dann haben wir
[mm] P(X=n|A)=\bruch{P(X=n|A)}{P(A)} [/mm] für alle [mm] n\in\IN\setminus\{0\}
[/mm]
Naja A ist ja eigentlich das Gegenereignis von "es kommt Kopf". Aber kann man es dann einfach so machen: [mm] P(A)=1-P(X=k)=1-p(1-p)^{1-1}=1-p?? [/mm] Weiß gerade nicht, ob das hier auch zutreffend ist.
Grüße
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:45 Fr 19.02.2010 | | Autor: | tobit09 |
> > [mm]P(X_i=1|X_1=0)=\bruch{P(X_2=1,X_1=0)}{P(X_1=0)}[/mm]
> >
> > damit bezeichnet [mm]X_i=1[/mm] das Kopf kommt und [mm]X_1=0[/mm] das Zahl
> > schon kam.
>
> > Was für eine Zufallsvariable meinst du mit [mm]X_1 [/mm]?
>
> Ok das war falsch gedacht, dachte ja hier, man kann es
> vielleicht auch mit Bernoulli machen.
Das ist gar nicht mal falsch gedacht, wenn du mit [mm] $X_1$ [/mm] die Zufallsvariable meinst, die 0 ist, wenn beim ersten Wurf Zahl gewürfelt wird, und 1, wenn beim ersten Wurf Kopf gewürfelt wird.
> > Wenn A das Ereignis "beim ersten Wurf kam Zahl" bezeichnet,
> ist [mm]P(X=n|A)[/mm] für alle [mm]n\in\IN\setminus\{0\}[/mm] oder
> meinetwegen auch nur für alle [mm]n\in\IN\setminus\{0,1\}[/mm]
> (warum?)
>
> Naja, [mm]n\in\IN\setminus\{0,1\}[/mm] hat sicherlich was damit zu
> tun, dass p [mm]\in[/mm] (0,1) ist, richtig?
Sehe ich nicht wirklich. (Wäre p=0 könnte man lange würfeln...; wäre p=1 würde man mit Wahrscheinlichkeit 1 im ersten Wurf Kopf werfen und das Ereignis A hätte somit Wahrscheinlichkeit 0 und somit könnten wir $P(X=n|A)$ gar nicht bilden.)
Für n=1 hätten wir $P(X=1|A)$, also die bedingte Wahrscheinlichkeit schon im ersten Wurf Kopf zu werfen, gegeben im ersten Wurf wurde Zahl geworfen. Dies hat natürlich Wahrscheinlichkeit 0.
> d.h. meine bedingte W.fkt. ist in dieser Aufgabe:
>
> Sei A das Ereignis "beim ersten Wurf kam Zahl" dann haben
> wir
> [mm]P(X=n|A)=\bruch{P(\red\{X=n\red\}\red\cap A)}{P(A)}[/mm] für alle
> [mm]n\in\IN\setminus\{0\}[/mm]
>
> Naja A ist ja eigentlich das Gegenereignis von "es kommt
> Kopf".
...im ersten Wurf. Genau.
> Aber kann man es dann einfach so machen:
> [mm]P(A)=1-P(X=k)=1-p(1-p)^{1-1}=1-p??[/mm]
Welche Zahl soll k sein? Anscheinend k=1. Dann stimmt es!
Fehlt noch die Bestimmung von [mm] $P(\{X=n\}\cap [/mm] A)$ für [mm] $n\in\IN\setminus\{0,1\}$. [/mm] Was bedeutet denn das Ereignis [mm] $\{X=n\}\cap [/mm] A$ im Sachzusammenhang?
|
|
|
| |
|
> $ [mm] P(A)=1-P(X=k)=1-p(1-p)^{1-1}=1-p?? [/mm] $
> Welche Zahl soll k sein? Anscheinend k=1. Dann stimmt es!
Oh ja, da habe ich vergessen bei P(X=k) k auch gleich 1 zu setzen. Später in der Rechnung habe ich es ja gemacht.
> Fehlt noch die Bestimmung von $ [mm] P(\{X=n\}\cap [/mm] A) $ für $ [mm] n\in\IN\setminus\{0,1\} [/mm] $. Was bedeutet denn das Ereignis $ [mm] \{X=n\}\cap [/mm] A $ im Sachzusammenhang?
Ok [mm] \{X=n\}\cap [/mm] A bedeutet doch im Sachzusammenhang eigentlich nur, wann können die beiden Ereignisse gemeinsam Auftreten oder?
D.h. Sie könnten nur zusammen auftreten, wenn im ersten Versuch kein Kopf kam, sondern Zahl.
Geht das dann so: [mm] \{X=n\}\cap [/mm] A [mm] =(p(1-p)^{k-1})*(1-p)
[/mm]
jetzt müsste nur k [mm] \ge [/mm] 2 sein. Ich habs bestimmt wieder nicht sauber aufgeschrieben, oder?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:16 Fr 19.02.2010 | | Autor: | tobit09 |
> > Fehlt noch die Bestimmung von [mm]P(\{X=n\}\cap A)[/mm] für
> [mm]n\in\IN\setminus\{0,1\} [/mm]. Was bedeutet denn das Ereignis
> [mm]\{X=n\}\cap A[/mm] im Sachzusammenhang?
>
> Ok [mm]\{X=n\}\cap[/mm] A bedeutet doch im Sachzusammenhang
> eigentlich nur, wann können die beiden Ereignisse
> gemeinsam Auftreten oder?
Ja, ein Schnitt zweier Ereignisse bedeutet, dass beide Ereignisse zusammen eintreten.
> Geht das dann so: [mm]\red{P(}\{X=n\}\cap[/mm] [mm] A\red)[/mm] [mm]=(p(1-p)^{k-1})*(1-p)[/mm]
>
> jetzt müsste nur k [mm]\ge[/mm] 2 sein. Ich habs bestimmt wieder
> nicht sauber aufgeschrieben, oder?
Mal abgesehen davon, dass ohne meine Korrektur links eine Menge und rechts eine Zahl steht: Was meinst du hier mit k? Falls k=n sein soll: Dann stimmt die Wahrscheinlichkeit nicht. Sollte die rechte Seite für $P(X=k)*P(A)$ stehen? Das wäre nur dann = der linken Seite, wenn die Ereignisse [mm] $\{X=k\}$ [/mm] und A stochastisch unabhängig wären. Das sind sie aber ganz und gar nicht.
Um die Wahrscheinlichkeit [mm] $P(\{X=n\}\cap [/mm] A)$ zu bestimmen, bleibt dir nichts anderes übrig, als zunächst das Ereignis [mm] $\{X=n\}\cap [/mm] A$ zu verstehen. Mach dir klar, was [mm] $\{X=n\}$ [/mm] und was A im Sachzusammenhang bedeutet. Was bedeutet also der Schnitt dieser beiden Ereignisse im Sachzusammenhang? Wenn du dir das klargemacht hast, kannst sehen, dass dieser Schnitt nur eine komplizierte Schreibweise für ein einfacheres Ereignis ist. Und davon kannst du dann die Wahrscheinlichkeit berechnen...
|
|
|
| |
|
> Um die Wahrscheinlichkeit $ [mm] P(\{X=n\}\cap [/mm] A) $ zu bestimmen, bleibt dir nichts anderes übrig, als zunächst das Ereignis $ [mm] \{X=n\}\cap [/mm] A $ zu verstehen. Mach dir klar, was $ [mm] \{X=n\} [/mm] $ und was A im Sachzusammenhang bedeutet. Was bedeutet also der Schnitt dieser beiden Ereignisse im Sachzusammenhang? Wenn du dir das klargemacht hast, kannst sehen, dass dieser Schnitt nur eine komplizierte Schreibweise für ein einfacheres Ereignis ist. Und davon kannst du dann die Wahrscheinlichkeit berechnen...
Ist immer so erstaunlich, dass ihr sowas so schnell seht und euch gleich immer alles so klar ist, würde das auch gerne so können  .
Die Sache ist, so ein bisschen vorstellen kann ich mir die Sachen auch, nur ich weiß immer dann nicht genau, wie ich das alles korrekt mathematisch aufschreibe. jetzt z.b:
A hatten wir ja gesagt, das ist, dass beim ersten mal das Ereignis Zahl kommt.
[mm] \{X=n\} [/mm] bedeutet doch, das beim n-ten mal das Ereignis Kopf kommt, das versteh ich doch so richtig, oder nicht?
> Was meinst du hier mit k? Falls k=n sein soll: Dann stimmt die Wahrscheinlichkeit nicht. Sollte die rechte Seite für $ [mm] P(X=k)\cdot{}P(A) [/mm] $ stehen?
Ja genau, k soll gleich n sein. So und für k=1 haben wir ja das Ereignis, dass Zahl eintritt, also A. Deswegen können wir bei k=1 ja nicht anfangen für [mm] \{X=n\}, [/mm] bzw. anders gesagt, wir können ja hier mit n=1 nicht anfangen, sondern mit n=2. Außerdem hattest du das ja auch schon selber gesagt, indem du $ [mm] n\in\IN\setminus\{0,1\} [/mm] $ gesetzt hast. Jetzt ist nur die Frage, wie kann ich das aufschreiben, das weiß ich jetzt wieder nicht.... :-/
Von der Menge her wäre es ja eigentlich auch sowas, oder:
[mm] \{X=n\}\cap [/mm] A [mm] =\{Z,K,K,K,K,K,K,K,K....\} [/mm] nur wie schreibe ich das als Wahrscheinlchkeit auf, also mit:
[mm] P(\{X=n\}\cap [/mm] A)???
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:55 Fr 19.02.2010 | | Autor: | tobit09 |
> A hatten wir ja gesagt, das ist, dass beim ersten mal das
> Ereignis Zahl kommt.
Ja.
> [mm]\{X=n\}[/mm] bedeutet doch, das beim n-ten mal das Ereignis Kopf
> kommt, das versteh ich doch so richtig, oder nicht?
Ja. [mm] $\{X=n\}$ [/mm] bedeutet, dass beim n-ten Wurf erstmals Kopf kam.
[mm] $\{X=n\}\cap [/mm] A$ bedeutet also: Beim n-ten Wurf kam erstmals Kopf und beim ersten Wurf kam Zahl. Was bedeutet das? Vielleicht erst mal kurz selber nachdenken, bevor du weiterliest...
Wenn erst beim n-ten Wurf erstmals Kopf kam, dann kam sowieso schon insbesondere im ersten Wurf Zahl! (Dabei geht [mm] $n\ge2$ [/mm] ein.) Das Ereignis "beim n-ten Wurf kam erstmals Kopf und beim ersten Wurf kam Zahl" ist also nichts anderes als das Ereignis "beim n-ten Wurf kam erstmals Kopf", also das Ereignis [mm] $\{X=n\}$.
[/mm]
Somit haben wir [mm] $\{X=n\}\cap A=\{X=n\}$ [/mm] gesehen. Und davon kannst du die Wahrscheinlichkeit ausrechnen...
> Ja genau, k soll gleich n sein. So und für k=1 haben wir
> ja das Ereignis, dass Zahl eintritt, also A. Deswegen
> können wir bei k=1 ja nicht anfangen für [mm]\{X=n\},[/mm] bzw.
> anders gesagt, wir können ja hier mit n=1 nicht anfangen,
> sondern mit n=2. Außerdem hattest du das ja auch schon
> selber gesagt, indem du [mm]n\in\IN\setminus\{0,1\}[/mm] gesetzt
> hast. Jetzt ist nur die Frage, wie kann ich das
> aufschreiben, das weiß ich jetzt wieder nicht.... :-/
Mir ist noch nicht klar, was du präzise aufschreiben möchtest.
> Von der Menge her wäre es ja eigentlich auch sowas, oder:
>
> [mm]\{X=n\}\cap[/mm] A [mm]=\{Z,K,K,K,K,K,K,K,K....\}[/mm]
??? Ganz explizit als Menge angeben kann man das Ereignis gar nicht, da es ja eine Teilmenge von [mm] $\Omega$ [/mm] ist und wir gar nicht näher spezifiziert haben, wie [mm] $\Omega$ [/mm] aussehen soll. Ich nehme mal an, du meintest die Folge (Z,K,K,K,...), oder? [mm] $\{Z,K,K,K,...\}$ [/mm] wäre nämlich nur eine umständliche Schreibweise für die Menge [mm] $\{Z,K\}$. [/mm] Was die von dir angegebene Folge allerdings mit unserem Zufallsexperiment zu tun hat, ist mir schleierhaft: Unendlich oft Kopf? Man hört ja schon beim ersten Mal Kopf auf zu werfen.
|
|
|
| |
|
Hi,
nach langem Warten kann ich endlich an dieser Aufgabe weiterarbeiten.
> Somit haben wir $ [mm] \{X=n\}\cap A=\{X=n\} [/mm] $ gesehen. Und davon kannst du die Wahrscheinlichkeit ausrechnen...
Ok, haben wir das dann so:
Unsere bedingte Wahrscheinlichkeitsfunktion lautet damit:
Sei A das Ereignis "beim ersten Wurf kam Zahl" dann haben wir
$ [mm] P(X=n|A)=\bruch{P(X=n|A)}{P(A)} [/mm] $ für alle $ [mm] n\in\IN\setminus\{0,1\} [/mm] $
Dann folgt:
[mm] P(X=n|A)=\bruch{P(\{X=n\}\cap A)}{P(A)}
[/mm]
= [mm] \bruch{P(\{X=n\})}{P(A)}
[/mm]
Mit [mm] P(A)=1-P(X=1)=1-p(1-p)^{1-1}=1-p [/mm] und [mm] P(X=n)=p(1-p)^{n-1} [/mm] folgt dann:
= [mm] \bruch{p(1-p)^{n-1} }{1-p}
[/mm]
Ist das jetzt schon das Ergebis? oder sollte man noch bisschen vereinfachen? Ich wüsste da gerade nur zwei Schritte noch:
= [mm] \bruch{p(1-p)^{n-1} }{1-p} [/mm] = [mm] \bruch{p(1-p)^n(1-p)^{-1} }{1-p}
[/mm]
= [mm] \bruch{p(1-p)^n}{(1-p)^2}
[/mm]
Könnt ihr das noch weiter vereinfachen, oder reicht das so??
Und wäre dann somit der Wertebereich dieser Funktion alle reellen Zahlen Ohne die 1? d.h. [mm] \IR_p \setminus\{0,1\}
[/mm]
Was sagt ihr dazu?
Grüße
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:23 So 21.02.2010 | | Autor: | tobit09 |
> [mm]P(X=n|A)=\bruch{P(\{X=n\}\cap A)}{P(A)}[/mm]
>
> = [mm]\bruch{P(\{X=n\})}{P(A)}[/mm]
>
> Mit [mm]P(A)=1-P(X=1)=1-p(1-p)^{1-1}=1-p[/mm] und
> [mm]P(X=n)=p(1-p)^{n-1}[/mm] folgt dann:
>
> = [mm]\bruch{p(1-p)^{n-1} }{1-p}[/mm]
> Ist das jetzt schon das Ergebis? oder sollte man noch
> bisschen vereinfachen? Ich wüsste da gerade nur zwei
> Schritte noch:
>
> = [mm]\bruch{p(1-p)^{n-1} }{1-p}[/mm] = [mm]\bruch{p(1-p)^n(1-p)^{-1} }{1-p}[/mm]
>
> = [mm]\bruch{p(1-p)^n}{(1-p)^2}[/mm]
>
> Könnt ihr das noch weiter vereinfachen, oder reicht das
> so??
Ich würde folgendermaßen vereinfachen: [mm] $\bruch{p(1-p)^{n-1}}{1-p}=p(1-p)^{n-1}(1-p)^{-1}=p(1-p)^{n-2}$.
[/mm]
> Und wäre dann somit der Wertebereich dieser Funktion alle
> reellen Zahlen Ohne die 1? d.h. [mm]\IR_p \setminus\{0,1\}[/mm]
(Dieses p am [mm] $\IR$ [/mm] verstehe ich nicht.) Das Problem ist, dass (das ging auch aus der zitierten Antwort des Dozenten hervor) der Begriff "Wertebereich einer bedingten Verteilung" nicht klar definiert ist. Wir müssen also etwas im Trüben fischen. Wenn im ersten Wurf Zahl geworfen wird, ist die Anzahl der Würfe eine natürliche Zahl ungleich 0 und 1. Da wir die bedingte Wahrscheinlichkeit auch nur für natürliche Zahlen ungleich 0 und 1 bestimmt haben, sollten wir auch nur die zum Wertebereich dazu zählen.
|
|
|
| |
|
Hi nochmal,
> Dieses p am $ [mm] \IR [/mm] $ verstehe ich nicht
stimmt hast recht, das habe ich wieder nicht gut gemacht. Wollte damit nur sagen, dass unsere Funktion auch von p abhängt. aber das brauche ich ja gar nicht zu sagen, da ja p schon mit Element aus (0,1) vorgeben ist.
Und das mit dem Wertebereich, da haste vollkommen recht. Die Sache ist, wir haben dazu auch nie eine Def. in der Vorlesung gehabt. Naja, nehmen wir einfach mal als Wertebereich für alle $ [mm] n\in\IN\setminus\{0,1\} [/mm] $.
So dann nochmal kurz eine Frage zu c) mit der Markov-Ungl.
Abgeschätz werden soll P(|X| [mm] \le [/mm] 4)
Die Markov-Ungl. lautet: P(|X| [mm] \ge [/mm] a) [mm] \le \bruch{E(X)}{a}, [/mm] Mit [mm] E(X)=\bruch{1}{p} [/mm] bei der Geo. Verteiltung folgt:
P(|X| $ [mm] \le [/mm] $ 4)=1-P(|X| $ [mm] \ge [/mm] $ 5) [mm] \le [/mm] 1 [mm] -\bruch{1}{5p}, [/mm] d.h.
P(|X| $ [mm] \le [/mm] $ 4) [mm] \le \bruch{5p-1}{5p}
[/mm]
Müsste so stimmen, oder??
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:42 So 21.02.2010 | | Autor: | tobit09 |
> Und das mit dem Wertebereich, da haste vollkommen recht.
> Die Sache ist, wir haben dazu auch nie eine Def. in der
> Vorlesung gehabt. Naja, nehmen wir einfach mal als
> Wertebereich für alle [mm]n\in\IN\setminus\{0,1\} [/mm].
Also sollte der Wertebereich [mm] $\IN\setminus\{0,1\}$ [/mm] sein.
> So dann nochmal kurz eine Frage zu c) mit der Markov-Ungl.
>
> Abgeschätz werden soll P(|X| [mm]\le[/mm] 4)
>
> Die Markov-Ungl. lautet: P(|X| [mm]\ge[/mm] a) [mm]\le \bruch{E(X)}{a},[/mm]
Im Zähler auf der rechten Seite müsste E|X| statt EX stehen. Aber für unsere hier betrachtete Zufallsgröße X gilt X=|X|, weil sie sowieso nur positive Werte annimmt.
> Mit [mm]E(X)=\bruch{1}{p}[/mm] bei der Geo. Verteiltung folgt:
>
> P(|X| [mm]\le[/mm] 4)=1-P(|X| [mm]\ge[/mm] 5) [mm]\le[/mm] 1 [mm]-\bruch{1}{5p},[/mm] d.h.
Das müsste am Ende [mm] $\ge$ [/mm] statt [mm] $\le$ [/mm] heißen (da "das Minuszeichen Ungleichheitszeichen umdreht").
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:44 So 21.02.2010 | | Autor: | jaruleking |
Besten Dank mal wieder für die Tipps.
Schönen Tag noch.
Grüße
|
|
|
|
