Mehrere Grenzwerte Polynom < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:15 Do 15.11.2018 | | Autor: | Thyrrac |
| Aufgabe | Berechnen Sie den folgenden Grenzwert:
[mm] \lim_{x \rightarrow 2} \frac{x^2 + 2x - 8}{x^2-2x} [/mm] |
Hallo,
nach der folgenden Aufgabenstellung habe ich intuitiv bestimmt x muss ungleich 2 sein, da sonst der Nenner 0 wird und der Quotient damit undefiniert ist. Frage Eins nun lautet:
1. Wenn x ungleich 2 ist und meine x Werte immer näher der zwei kommen, muss doch auch der Nenner unendlich klein werden, und damit der Zähler unendlich groß und so müsste der Grenzwert gegen unendlich gehen.
Jetzt habe ich etwas umgeformt und bin auf folgenden vereinfachten Grenzwert gekommen:
[mm] \lim_{x \rightarrow 2} \frac{(x-2)^2 + 6x -12}{x(x-2)} [/mm] = [mm] \lim_{x \rightarrow 2} \frac{(x-2)+6x-12}{x} [/mm] = [mm] \frac{12-12}{2} [/mm] = 0
Danach habe ich einen Freund gefragt, der die Aufgabe ebenfalls bearbeitet hat, dieser hat anders umgeformt und folgende Gleichung bekommen:
[mm] \lim_{x \rightarrow 2} \frac{(x+4)(x-2)}{x(x-2)} [/mm] = [mm] \lim_{x \rightarrow 2} \frac{x+4}{x} [/mm] = 3
Wo ist bei all diesen Umformungen der Denkfehler? Sie sind alle offenbar äquivalent und haben doch scheinbar unterschiedliche Grenzwerte. Das ist mir nun schon bei mehreren gebrochen-rationalen Funktionen aufgefallen, woher kommt diese Eigenschaft und wie weiß ich, welcher Scheinwert der richtige Grenzwert ist?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:33 Do 15.11.2018 | | Autor: | Loddar |
Hallo Thyrrac,
Dein Denkfehler liegt darin, dass Du für [mm] $x\to [/mm] 2$ einen unbestimmten Ausdruck der Form [mm] $\tfrac{0}{0}$ [/mm] hast.
Sprich: für [mm] $x\to [/mm] 2$ gehen sowohl der Zähler als auch der Nenner jeweils gegen Null.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:26 Do 15.11.2018 | | Autor: | Thyrrac |
Okay, das verstehe ich soweit. Gilt das denn Allgemein oder gibt es auch Brüche die die obigen Bedingungen erfüllen (also auch scheinbar mehrere Grenzwerte für äquivalente Umformungen besitzen) und im Zähler ungleich 0 sind? Wenn ja, wie würde ich mit denen dann umgehen bzw. wieso gibt es dann in solchen Fällen scheinbar mehrere Grenzwerte?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:12 Do 15.11.2018 | | Autor: | chrisno |
Es gibt nicht mehrere Grenzwerte.
$ [mm] \lim_{x \rightarrow 2} \frac{(x+4)(x-2)}{x(x-2)} [/mm] $ = $ [mm] \lim_{x \rightarrow 2} \frac{x+4}{x} [/mm] $ = 3
das ist in Ordnung. Wenn gleichzeitig Nenner und Zähler gegen Null gehen, dann versuchst Du, den Bruch durch die Nullstelle des Nenners zu kürzen. Dafür benutzt Du die Polynomdivision. Wenn der Nenner dann keine Nullstelle an der zu untersuchenden Stelle mehr hat, geht es wie oben weiter.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:19 Do 15.11.2018 | | Autor: | Thyrrac |
Oh ja, peinlich.. danke für den Hinweis.
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> Berechnen Sie den folgenden Grenzwert:
> [mm]\lim_{x \rightarrow 2} \frac{x^2 + 2x - 8}{x^2-2x}[/mm]
>
> Hallo,
> nach der folgenden Aufgabenstellung habe ich intuitiv
> bestimmt x muss ungleich 2 sein, da sonst der Nenner 0 wird
> und der Quotient damit undefiniert ist. Frage Eins nun
> lautet:
>
> 1. Wenn x ungleich 2 ist und meine x Werte immer näher der
> zwei kommen, muss doch auch der Nenner unendlich klein
> werden,
Ja
> und damit der Zähler unendlich groß
Nein
Erstens: Das meinst du gar nicht, sondern:"... und weil der Nenner unendlich klein wird, damit der Wert DES BRUCHES unendlich groß."
Zweitens: Wenn der Zähler gegen 5 oder 3 oder 0,002 ginge, hättest du Recht. Aber der geht ebenfalls gegen 0, und deshalb kann alles Mögliche herauskommen.
Nehmen wir hierzu drei einfache Beispiele, bei denen Zähler und Nenner gleichzeitig gegen 0 gehen:
[mm] \frac{ax}{x} [/mm] gibt für alle Zahlen x [mm] \ne [/mm] 0 den Wert a, und deshalb ist [mm]\lim_{x \rightarrow 0} \frac{ax}{x}[/mm] = a.
[mm] \frac{x^2}{x} [/mm] gibt für alle Zahlen x [mm] \ne [/mm] 0 den Wert x, und deshalb ist [mm]\lim_{x \rightarrow 0} \frac{x^2}{x}[/mm] = 0.
[mm] \frac{x}{x^2} [/mm] gibt für alle Zahlen x [mm] \ne [/mm] 0 den Wert [mm] \frac{1}{x}, [/mm] und deshalb ist für x>0 [mm]\lim_{x \rightarrow 0} \frac{x}{x^2}[/mm] = [mm] \infty.
[/mm]
> und so
> müsste der Grenzwert gegen unendlich gehen.
>
> Jetzt habe ich etwas umgeformt und bin auf folgenden
> vereinfachten Grenzwert gekommen:
>
> [mm]\lim_{x \rightarrow 2} \frac{(x-2)^2 + 6x -12}{x(x-2)}[/mm] =
> [mm]\lim_{x \rightarrow 2} \frac{(x-2)+6x-12}{x}[/mm] =
> [mm]\frac{12-12}{2}[/mm] = 0
>
> Danach habe ich einen Freund gefragt, der die Aufgabe
> ebenfalls bearbeitet hat, dieser hat anders umgeformt und
> folgende Gleichung bekommen:
>
> [mm]\lim_{x \rightarrow 2} \frac{(x+4)(x-2)}{x(x-2)}[/mm] = [mm]\lim_{x \rightarrow 2} \frac{x+4}{x}[/mm]
> = 3
>
> Wo ist bei all diesen Umformungen der Denkfehler? Sie sind
> alle offenbar äquivalent und haben doch scheinbar
> unterschiedliche Grenzwerte. Das ist mir nun schon bei
> mehreren gebrochen-rationalen Funktionen aufgefallen, woher
> kommt diese Eigenschaft und wie weiß ich, welcher
> Scheinwert der richtige Grenzwert ist?
>
Das falsche Kürzen deinerseits wurde schon von anderen geklärt.
Du fragst an anderer Stelle, ob es zu verschiedenen Grenzwerten kommen kann. So etwas gibt es, und zwar kann der rechtsseitige Grenzwert eines Ausdrucks vom linksseitigen abweichen. Einfachster Fall von oben:
[mm] \frac{x}{x^2} [/mm] gibt für alle Zahlen x [mm] \ne [/mm] 0 den Wert [mm] \frac{1}{x}, [/mm] und deshalb ist [mm]\lim_{x \rightarrow 0} \frac{x}{x^2}[/mm] = [mm] \left\{\begin{matrix} + \infty, & \mbox{wenn }\mbox{x>0} \\ - \infty, & \mbox{wenn }\mbox{x<0} \end{matrix}\right.
[/mm]
Oder auch für endliche Werte:
[mm]\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\wurzel{x^2}}{x}[/mm] = [mm] \left\{\begin{matrix} \frac{x}{x} = 1 & \mbox{wenn }\mbox{x>0} \\ \frac{-x}{x} = -1, & \mbox{wenn }\mbox{x<0} \end{matrix}\right.
[/mm]
Man spricht aber hier nicht von "dem Grenzwert", sondern eben vom rechts- bzw. linksseitigen.
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