Maximum und Minimum bestimmen < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:16 Sa 06.08.2011 | | Autor: | kalifat |
| Aufgabe | | [mm] f(x,y)=ax^2+2bxy+cy^2. [/mm] Bestimme Maximum und Minimum von f auf dem Einheitskreis [mm] x^2+y^2-1=0 [/mm] |
Ich habe mir überlegt ich wende die Lagrange'schen Multiplikatorenregeln an.
Daraufhin erhalte ich folgendes Gleichungssystem
[mm] ax+by=\lambda [/mm] x
[mm] bx+cy=\lambda [/mm] y
[mm] x^2+y^2-1=0
[/mm]
Wenn ich das nach x, y und [mm] \lambda [/mm] auflöse kommt bei mir irgendwas heraus. Habt ihr vielleicht eine bessere Idee zur Berechnung der Extremwerte oder habe ich mich irgendwo verrechnet?
|
|
| |
|
Moin kalifat,
> [mm]f(x,y)=ax^2+2bxy+cy^2.[/mm] Bestimme Maximum und Minimum von f
> auf dem Einheitskreis [mm]x^2+y^2-1=0[/mm]
> Ich habe mir überlegt ich wende die Lagrange'schen
> Multiplikatorenregeln an.
> Daraufhin erhalte ich folgendes Gleichungssystem
>
> [mm]ax+by=\lambda[/mm] x
> [mm]bx+cy=\lambda[/mm] y
> [mm]x^2+y^2-1=0[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Wenn ich das nach x, y und [mm]\lambda[/mm] auflöse kommt bei mir
> irgendwas heraus. Habt ihr vielleicht eine bessere Idee zur
> Berechnung der Extremwerte oder habe ich mich irgendwo verrechnet?
Die Methode der Lagrange Multiplikatoren ist wohl die gängigste.
Alternativ könntest du die Gleichung [mm] x^2+y^2=1 [/mm] nach einer Variablen auflösen und in f einsetzen. Dann erhältst du eine eindimensionale Funktion, weiter ginge es mit der üblichen Extremumsbestimmung. Ich empfehle das aber nicht, denn das Auflösen der impliziten Gleichung nach einer Variable ist nicht eindeutig möglich, was unangenehme Fallunterscheidungen mit sich bringt.
LG
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:32 Sa 06.08.2011 | | Autor: | kalifat |
Ok, wenn ich dieses Gleichungssystem in Mathematica eingebe kommen für die Variabeln extrem lange Ausdrücke dabei heraus, diese weden doch wohl kaum die Lösungen sein.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:35 Sa 06.08.2011 | | Autor: | kalifat |
Hat niemand eine Idee?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:42 Sa 06.08.2011 | | Autor: | fred97 |
Sei [mm] A:=\pmat{ a & b \\ b & c }
[/mm]
Die 3 Gleichungen
$ [mm] ax+by=\lambda [/mm] $ x
$ [mm] bx+cy=\lambda [/mm] $ y
$ [mm] x^2+y^2-1=0 [/mm] $
bedeuten:
[mm] \lambda [/mm] ist ein Eigenwert der symm. Matrix A und [mm] \vektor{x \\ y} [/mm] ist ein zugeh. normierter Eigenvektor.
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:45 Sa 06.08.2011 | | Autor: | kalifat |
Danke für die Info. Wie schaut aber das Max und Min. explizit aus?
|
|
|
| |
|
Hallo
Berechne dazu zunächst die Eigenwerte und dazugehörigen EV der symmetrischen Matrix $ [mm] A:=\pmat{ a & b \\ b & c } [/mm] $
Dann sind die dazu gehörenden Eigenvektoren, wenn man sie normiert, deine Kandidaten fürs Extremum
Viele Grüße
|
|
|
|
