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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 20:51 Mi 11.05.2005 | | Autor: | Moe007 |
Hallo,
ich hab hier eine Aufgabe, bei der ich nicht weiter komme. Ich hab versucht, so weit wie ich konnte, den Beweis durchzuführen. Ich bitte um Verbesserung, falls etwas falsch ist.
Aufgabe:
Die Funktion f: [mm] \IR^{3} \to \IR, f(x,y,z)=x^{2}+y^{3}+z^{4} [/mm] nimmt auf der Menge M:={(x,y,z) [mm] \in \IR^{3} [/mm] | [mm] x^{2}+y^{4}+z^{6}=1, [/mm] xy+yz+xz=0} ein Maximum und Minimum an.
Meine Lösung:
Es gibt doch so ein Korollar, das besagt: Sei f: M [mm] \to \IR [/mm] stetig, M [mm] \not= \emptyset, [/mm] M kompakt. Dann hat f sowohl ein Maximum und ein Minimum.
Also bin ich so vorgegangen. ich hab zunächst gezeigt, dass f stetig ist:
[mm] \forall [/mm] (x,y,z) [mm] \in \IR^{3} \forall \varepsilon [/mm] > 0 [mm] \exists \delta [/mm] > 0 [mm] \forall [/mm] (x',y',z') [mm] \in \IR^{3}: \parallel [/mm] (x,y,z) - (x',y',z') [mm] \parallel_{ \infty} [/mm] < [mm] \delta \Rightarrow [/mm] | [mm] (x^{2}+y^{3}+z^{4})-(x'^{2}+y'^{3}+z'^{4})| [/mm] < [mm] \varepsilon
[/mm]
Beweis: Seien (x,y,z) [mm] \in \IR^{3} [/mm] und [mm] \varepsilon [/mm] > 0
Wähle [mm] \delta [/mm] = [mm] \bruch{ \varepsilon}{3}
[/mm]
Nun sei (x',y',z') [mm] \in \IR^{3} [/mm] mit [mm] \parallel [/mm] (x,y,z) - (x',y',z') [mm] \parallel_{ \infty} [/mm] < [mm] \delta [/mm] , d.h. |x-x'|< [mm] \delta [/mm] und |y-y'|< [mm] \delta [/mm] und |z-z'|< [mm] \delta.
[/mm]
Dann gilt:
[mm] |(x^{2}+y^{3}+z^{4})-(x'^{2}+y'^{3}+z'^{4})| [/mm] = | [mm] x^{2}-x'^{2}+y^{3}-y'^{3}+z^{4}-z'{4}| \le |x^{2}-x'^{2}| [/mm] + [mm] |y^{3}-y'^{3}| [/mm] + [mm] |z^{4}-z'{4}| \le [/mm] |x-x'| + |y-y'| + |z-z'| < [mm] 3\delta [/mm] = [mm] \varepsilon
[/mm]
Also ist f stetig. Der vorletzte Schritt folgt daraus, dass [mm] |x^{2}-x'^{2}| \le [/mm] |x-x'|. Denn sei OBdA x < x', dann ist |x(x-1)| [mm] \le [/mm] |x'(x'+1)|.
Und es gilt [mm] |y^{3}-y'^{3}| \le [/mm] |y-y'|, denn es ist y(y+1)(y-1) [mm] \le [/mm] y'(y'+1)(y'-1) für y < y'.
und es gilt [mm] |z^{4}-z'{4}| \le [/mm] |z-z'|, denn für z<z' ist [mm] z(z^{3}-1) \le [/mm] z'(z'^{3}-1).
Nun zeige ich, dass M kompakt ist. Es gilt, M ist kompakt gdw M [mm] \subseteq \IR^{3} [/mm] abgeschlossen und beschränkt ist.
1) Z.Z.: M ist abgeschlossen: Als Urbild der abgeschlossenen Mengen {1} und {0} unter einer stetigen Abbildung f (siehe Beweis) ist M abgeschlossen.
2) Zz: M ist beschränkt. es gilt M [mm] \subseteq B_{r}(0) [/mm] für r>0 bzgl der [mm] \parallel [/mm] . [mm] \parallel_{ \infty}- [/mm] Norm.
Hier weiß ich nicht, wie ich das konkret beweisen soll. Muss ich hier zeigen, dass [mm] B_{r}(0) [/mm] offen ist?
Ich hoffe, es kann mir jemand einen Tipp geben, was ich da machen soll.
Und ich bitte um Verbesserung bei den anderen Teilaufgaben.
Danke für die Hilfe,
Moe007
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:19 Sa 14.05.2005 | | Autor: | leduart |
> Hallo,
> Aufgabe:
> Die Funktion f: [mm]\IR^{3} \to \IR, f(x,y,z)=x^{2}+y^{3}+z^{4}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> nimmt auf der Menge M:={(x,y,z) [mm]\in \IR^{3}[/mm] |
> [mm]x^{2}+y^{4}+z^{6}=1,[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
xy+yz+xz=0} ein Maximum und Minimum
> an.
>
> Meine Lösung:
> Es gibt doch so ein Korollar, das besagt: Sei f: M [mm]\to \IR[/mm]
> stetig, M [mm]\not= \emptyset,[/mm] M kompakt. Dann hat f sowohl
> ein Maximum und ein Minimum.
>
> Also bin ich so vorgegangen. ich hab zunächst gezeigt, dass
> f stetig ist:
ich glaube, das müsst ihr bei sochen Polynomfkt nicht beweisen: aber dein Beweis ist falsch:
> [mm]\forall[/mm] (x,y,z) [mm]\in \IR^{3} \forall \varepsilon[/mm] > 0
> [mm]\exists \delta[/mm] > 0 [mm]\forall[/mm] (x',y',z') [mm]\in \IR^{3}: \parallel[/mm]
> (x,y,z) - (x',y',z') [mm]\parallel_{ \infty}[/mm] < [mm]\delta \Rightarrow[/mm]
> | [mm](x^{2}+y^{3}+z^{4})-(x'^{2}+y'^{3}+z'^{4})|[/mm] <
> [mm]\varepsilon[/mm]
>
> Beweis: Seien (x,y,z) [mm]\in \IR^{3}[/mm] und [mm]\varepsilon[/mm] > 0
> Wähle [mm]\delta[/mm] = [mm]\bruch{ \varepsilon}{3}[/mm]
> Nun sei
> (x',y',z') [mm]\in \IR^{3}[/mm] mit [mm]\parallel[/mm] (x,y,z) - (x',y',z')
> [mm]\parallel_{ \infty}[/mm] < [mm]\delta[/mm] , d.h. |x-x'|< [mm]\delta[/mm] und
> |y-y'|< [mm]\delta[/mm] und |z-z'|< [mm]\delta.[/mm]
> Dann gilt:
> [mm]|(x^{2}+y^{3}+z^{4})-(x'^{2}+y'^{3}+z'^{4})|[/mm] = |
> [mm]x^{2}-x'^{2}+y^{3}-y'^{3}+z^{4}-z'{4}| \le |x^{2}-x'^{2}|[/mm]
> + [mm]|y^{3}-y'^{3}|[/mm] + [mm]|z^{4}-z'{4}| \le[/mm] |x-x'| + |y-y'| +
> |z-z'| < [mm]3\delta[/mm] = [mm]\varepsilon[/mm]
der letzte Schritt ist falsch!Auf jeden Fall kannst dudas nicht ohne Einschränkung für x,x' z.Bsp: x'=1, x=0,5 | x-x'| =0,5;| [mm] x'^{2}-x^{2}|=0,75
[/mm]
allgemeiner [mm] |x^{2}-x'^{2}|=|x+1|*|x-1| [/mm] deine Beh. ist f für x>0. entsprechend die anderen. da gilt |x|<1 kannst du folgern [mm] |x^{2}-x'^{2}|<|x-x'|*2
[/mm]
> Also ist f stetig. Der vorletzte Schritt folgt daraus, dass
> [mm]|x^{2}-x'^{2}| \le[/mm] |x-x'|. Denn sei OBdA x < x', dann ist
> |x(x-1)| [mm]\le[/mm] |x'(x'+1)|.
Wieso gilt das so allgemein? und wieso soll es obiges zeigen?
> Und es gilt [mm]|y^{3}-y'^{3}| \le[/mm] |y-y'|, denn es ist
> y(y+1)(y-1) [mm]\le[/mm] y'(y'+1)(y'-1) für y < y'.
> und es gilt [mm]|z^{4}-z'{4}| \le[/mm] |z-z'|, denn für z<z' ist
> [mm]z(z^{3}-1) \le[/mm] z'(z'^{3}-1).
>
> Nun zeige ich, dass M kompakt ist. Es gilt, M ist kompakt
> gdw M [mm]\subseteq \IR^{3}[/mm] abgeschlossen und beschränkt ist.
> 1) Z.Z.: M ist abgeschlossen: Als Urbild der
> abgeschlossenen Mengen {1} und {0} unter einer stetigen
> Abbildung f (siehe Beweis) ist M abgeschlossen.
richtig
f ist hier ja nicht obiges f sondern die 2 Funktionen deren Werte bei 1 bzw 0 M definieren!
> 2) Zz: M ist beschränkt. es gilt M [mm]\subseteq B_{r}(0)[/mm]
> für r>0 bzgl der [mm]\parallel[/mm] . [mm]\parallel_{ \infty}-[/mm] Norm.
> Hier weiß ich nicht, wie ich das konkret beweisen soll.
> Muss ich hier zeigen, dass [mm]B_{r}(0)[/mm] offen ist?
> Ich hoffe, es kann mir jemand einen Tipp geben, was ich da
> machen soll.
Ich denk noch mal nach! im Moment weiss ich noch nix.
> Und ich bitte um Verbesserung bei den anderen
das wenigstens hast du.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:22 So 15.05.2005 | | Autor: | Moe007 |
Hallo,
danke für deine antwort. ich hab eine Frage zu deiner Lösung. und zwar wie kommst du darauf, dass | [mm] x^{2} [/mm] - x'^{2} | = | x+1| |x-1| ist? Woher weiß ich denn, dass x' = 1 ist?
Ich hab das irgendwie nicht verstanden. Daher weiß ich auch nicht, wie ich das mit | [mm] y^{3}-y'^{3}| [/mm] machen soll. Wie kann ich das so zerlegen wie bei | [mm] x^{2} [/mm] - x'^{2} |?
Viele Grüße. Moe
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:00 So 15.05.2005 | | Autor: | leduart |
Hallo
tut mir leid!
> danke für deine antwort. ich hab eine Frage zu deiner
> Lösung. und zwar wie kommst du darauf, dass | [mm]x^{2}[/mm] -
> x'^{2} | = | x+1| |x-1| ist? Woher weiß ich denn, dass x' =
> 1 ist?
einfach Unsinn, ein Leichtsinnsfehler von mir natürlich muss es heissen
[mm] |x'^{2}-x^{2}| [/mm] = | x+x'| |x-x'|
> Ich hab das irgendwie nicht verstanden. Daher weiß ich
> auch nicht, wie ich das mit | [mm]y^{3}-y'^{3}|[/mm] machen soll.
> Wie kann ich das so zerlegen wie bei | [mm]x^{2}[/mm] - x'^{2} |?
durch y-y' dividieren! das geht bei jeder Potenz. Aber Stetigkeit von einfachen Potenzen habt ihr doch sicher schon letztes Jahr gemacht. du brauchst eigentlich nur die Stetigkeit von x, und dass Produkte stet. fkt. wieder stetig sind.
Die Schwierigkeit hier ist doch nur die Beschränktheit von M.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:43 So 15.05.2005 | | Autor: | Moe007 |
Hallo,
danke nochmals für deine Antwort. Zunächst hab ich den Stetigkeitsbeweis von f verbessert. Der letzte Schritt lautet bei mir jetzt so:
[mm] |x^{2}-x'^{2}|+|y^{3}-y'^{3}|+|z^{4}-z'^{4}| \le [/mm] 2|x-x'|+ 2|y-y'|+ 2|z-z'|= 6 [mm] \delta [/mm] = [mm] \varepsilon [/mm] (hab [mm] \delta= \bruch{ \varepsilon}{6} [/mm] gewählt)
Zur Beschränktheit hab ich eine Frage. In der Vorlesung haben wir so einen ähnlichen Beweis zur Berschränktheit gemacht, und hat der Professor die Beschrämktjheit so begründet:
M ist beschränkt, denn es müssen endlich viele Kugeln [mm] (B_{n}(0))_{n \in \IN} [/mm] M überdecken, sonst wäre [mm] (B_{n}(0) \cap M)_{n \in \IN} [/mm] eine offene Überdeckung von M, die keine endliche Teilüberdeckung besitzt.
Kann ich das hier auch so begründen?
Viele Grüße, Moe
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:33 So 15.05.2005 | | Autor: | leduart |
Hallo,
> danke nochmals für deine Antwort. Zunächst hab ich den
> Stetigkeitsbeweis von f verbessert. Der letzte Schritt
> lautet bei mir jetzt so:
> [mm]|x^{2}-x'^{2}|+|y^{3}-y'^{3}|+|z^{4}-z'^{4}| \le[/mm] 2|x-x'|+
> 2|y-y'|+ 2|z-z'|= 6 [mm]\delta[/mm] = [mm]\varepsilon[/mm] (hab [mm]\delta= \bruch{ \varepsilon}{6}[/mm]
noch nicht ganz richtig [mm] |y^{3}-y'^{3}|=|y^{2}+yy+y'^{2}|*|y-y'|<3*|y-y'| [/mm] entsprechend [mm] z^{4} [/mm] Faktor 4
> gewählt)
>
> Zur Beschränktheit hab ich eine Frage. In der Vorlesung
> haben wir so einen ähnlichen Beweis zur Berschränktheit
> gemacht, und hat der Professor die Beschrämktjheit so
> begründet:
>
> M ist beschränkt, denn es müssen endlich viele Kugeln
> [mm](B_{n}(0))_{n \in \IN}[/mm] M überdecken, sonst wäre [mm](B_{n}(0) \cap M)_{n \in \IN}[/mm]
> eine offene Überdeckung von M, die keine endliche
> Teilüberdeckung besitzt.
>
> Kann ich das hier auch so begründen?
Wie du das machen willst weiss ich nicht genau: M hat doch die 2 Bedingungen für x,y,z
[mm] x^{2}+y^{4}+z^{6}=1 [/mm] heisst doch schon [mm] |x|\le1, |y|\le1, |z|\le1 [/mm] damit ist M schon beschränkt, ich weiss nur nicht, wie die zweite Bedingung da noch rein passt. und wozu sie ist. Sie sagt mir nur, dass nicht x,y,z gleichzeitig alle pos oder neg sein dürfen.( Vielleicht hab ich was übersehen, und es gibt in M nur ein paar Punkte? für die beide Bed. richtig sind. für z=0 etwa folgt x=0 |y|=1 oder y=0 |x|=1)
Gruss leduart
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