Maximum, Minimum < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:51 Sa 30.10.2010 | | Autor: | SolRakt |
| Aufgabe | | M := [mm] \bigcup_{n \varepsilon \IN}^{} [/mm] [ - [mm] \bruch{1}{n} [/mm] , 2 - [mm] \bruch{1}{n} [/mm] ] Man soll das Maximun und Minimum von M bestimmen oder ersatzweise das Supremum bzw. Infimum. |
Hallo.
Der Ersatz durch das Supremum bzw. Infimum ist hier doch gar nicht notwendig, da doch ein Maximum und ein Minimum existiert.
-1 wäre das Minimum, da wegen - [mm] \bruch{1}{n} [/mm] und n gegen [mm] \infty [/mm] dieser somit kleiner wird. Also bringt das kleinste Element [mm] von\IN, [/mm] also 1, auch das Minimum, also -1/1 = -1.
Für das Maximum wäre das ähnlich. Hier wäre es 2.
Kann man das alles so direkt sagen, weil es ja dann ziemlich simpel wäre?
Danke schonmal.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:02 Sa 30.10.2010 | | Autor: | Sax |
Hi,
überlege dir noch mal genau den Unterschied zwischen Maximum und Supremum.
Welche der beiden Definitionen wird von der Zahl 2 erfüllt ?
Gruß Sax.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:04 Sa 30.10.2010 | | Autor: | SolRakt |
Das Maximum ist der größte Wert einer Menge und dabei wäre die 2 ja noch enthalten, wenn n [mm] \varepsilon \IN [/mm] immer größer wird. Das Supremum wäre die kleinste obere Schranke, aber die brauche ich hier doch nicht oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:12 Sa 30.10.2010 | | Autor: | Sax |
Hi,
> Das Maximum ist der größte Wert einer Menge und dabei
> wäre die 2 ja noch enthalten, wenn n [mm]\varepsilon \IN[/mm] immer
> größer wird. Das Supremum wäre die kleinste obere
> Schranke, aber die brauche ich hier doch nicht oder?
kannst du mir das Gegenteil beweisen, wenn ich behaupten würde, dass 2 nicht enthalten ist ?
Gruß Sax.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:16 Sa 30.10.2010 | | Autor: | SolRakt |
Boah, gemeine Frage xD Ne könnte ich nicht ;) Aber in dem Fall müsste 2 dann wiederum das Supremum sein.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:30 Sa 30.10.2010 | | Autor: | Sax |
Hi, so ist es.
Das Maximum muss zur Menge dazugehören, bei einer Vereinigung heißt das, dass die Zahl zu mindestens einer der Mengen gehören muss.
2 liegt aber in keinem der betrachteten Intervalle, weil die ja alle unterhalb von 2 aufhören.
Das Supremum ist die kleinste obere Schranke von M, muss aber selbst nicht zu M dazugehören. 2 ist offenbar eine obere Schranke und es ist auch die kleinste, denn eine kleinere Zahl, etwa [mm] 2-\epsilon [/mm] mit [mm] \epsilon>0 [/mm] ist keine obere Schranke mehr, weil die Zahl [mm] 2-\bruch{\epsilon}{2} [/mm] größer als [mm] 2-\epsilon [/mm] ist und für [mm] n>\bruch{2}{\epsilon} [/mm] zu den einzelnen Intervallen, also auch zur Vereinigungsmenge gehört.
Gruß Sax.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:36 So 31.10.2010 | | Autor: | fred97 |
M hat die Gestalt
$M=[a,b)$
Bestimme doch zuerst mal a und b !
FRED
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