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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:27 Sa 02.10.2010 | | Autor: | F22 |
| Aufgabe | Es werde angenommen, dass ein bestimmtes Merkmal Y einer Grundgesamtheit die folgende Dichte besitzt:
[mm] f_y(Y)=\begin{cases} \bruch{5}{c} * y^4 * e^{-\bruch{y^5}{c}}, & \mbox{für } y \ge 0\\ 0, & \mbox{sonst} \end{cases}
[/mm]
Dabei gilt [mm] E(Y^5) [/mm] = c. Eine einfache Stichprobe (X1, . . . , Xn) zu Y ergab die Realisation [mm] (x_1,...,x_n).
[/mm]
Schätzen Sie mit Hilfe der Maximum-Likelihoodmethode den Parameter c. |
Guten Morgen,
erstmal danke, das du meine Frage liest.
Ich sitze an dieser Aufgabe schon recht lange. Leider komme ich auf kein vernünftiges Ergebnis.
Mein Vorgehen:
Erstmal die Likelihood-Funktion aufstellen:
[mm] L(c,x_1,...,x_n)= \produkt_{i=1}^{n} \bruch{5}{c} [/mm] * [mm] x_i^4 [/mm] * [mm] e^{-\bruch{x_i^5}{c}}
[/mm]
Danach den natürlichen Logarithmus anwenden:
ln(L(...)) = [mm] \summe_{i=1}^{n} ln(\bruch{5}{c}) [/mm] + [mm] ln(x_i^4)+ln(e^{-\bruch{x_i^5}{c}})
[/mm]
Falls das bis hierher richtig ist, liegt der Fehler irgendwo im Ableiten:
[mm] \bruch{\partial ln(L(...))}{\partial c} [/mm] = - [mm] \bruch{n}{c} [/mm] * [mm] \summe_{i=1}^{n} (1+x_i^5)
[/mm]
Dies gleich 0 zu setzen gelingt mir leider nicht.
Sieht jemand meinen Fehler und kann mir bei der Lösung helfen?
Vielen Dank
F22
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:32 Sa 02.10.2010 | | Autor: | vivo |
Hallo,
ich bekomm für die Ableitung raus:
[mm] $\sum_{i=1}^n \frac{-1}{c} [/mm] + [mm] \frac{x_i^5}{c^2}=\frac{-n}{c}+\sum_{i=1}^n \frac{x_i^5}{c^2}=\frac{-n}{c}+\frac{\sum_{i=1}^n x_i^5}{c^2}$
[/mm]
gleich null setzten führ auf
[mm] $c=\frac{\sum_{i=1}^n x_i^5}{n}$
[/mm]
gruß
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