Maximum Likelihood Schätzer < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:55 Mi 25.07.2018 | | Autor: | Hela123 |
| Aufgabe | Die Radioaktivität in einer Probe soll mit einem Geigerzähler gemessen werden. Es ist bekannt, dass die Probe n Atome enthält. Wenn eines davon zerfällt wird der Zerfall mit einer bekannten Wahrscheinlichkeit von p detektiert. Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Atom in einer Sekunde zerfällt ist unbekannt und wird mit [mm]\theta \in [0,1][/mm] bezeichnet. Der Geigerzähler wird eine Sekunde auf die Probe gerichtet und die Anzahl der detektierten Zerfälle [mm]k \in \IZ_{\ge 0}[/mm] wird erfasst.
Bestimme unter Verwendung eines geeigneten statistischen Modells den Maximum-Likelihood-Schätzer für [mm]\theta[/mm]. |
Hallo Forum,
ich habe eine Frage zu dieser Aufgabe.
Ich habe das Ganze mit Poissonverteilung modelliert:
[mm]P(\{k\}) = e^{-\lambda} \bruch{\lambda^k}{k!} [/mm] mit [mm]\lambda = np\theta[/mm].
Für Maximum Likelihood Schötzung muss ich die Nullstellen der 1.Ableitung nach [mm]\theta[/mm] finden.
Also:
[mm]P(\{k\}) = e^{-(np\theta)} \bruch{(np\theta)^k}{k!} [/mm]
[mm] \bruch{\partial P(\{k\})}{\partial \theta} = e^{-(np\theta)} (-np) \bruch{(np\theta)^k}{k!} + e^{-(np\theta)} \bruch{(np\theta)^{k-1} npk}{k!} [/mm]
Ist das korrekt? Oder was ist mein Fehler?
Für die Nullstellen entsprechend:
[mm]e^{-(np\theta)} (-np) \bruch{(np\theta)^k}{k!} + e^{-(np\theta)} \bruch{(np\theta)^{k-1} npk}{k!} = 0[/mm]
[mm] \bruch {e^{-(np\theta)} np ((np\theta)^{k-1} - k(np \theta)^k)}{k!} = 0[/mm]
[mm] e^{-(np\theta)} np = 0[/mm] ist für jedes [mm]\theta[/mm] nicht gegeben.
Bleibt:
[mm] (np\theta)^{k-1} - k(np \theta)^k = 0[/mm]
[mm] (np\theta)^{k-1}(1 - knp \theta) = 0[/mm]
[mm] (np\theta)^{k-1}= 0[/mm] erfüllt bei [mm]\theta =0[/mm], ist aber nicht das gesuchte Maximum
[mm] (1 - knp \theta) = 0[/mm]
[mm]\theta = \bruch {1}{knp}[/mm] das wäre der gesuchter Term, aber es ist leider falsch, weil die Musterlösung sagt, [mm]\theta = \bruch {k}{np}[/mm]
Wo habe ich einen Fehler gemacht?
Schönen Dank im Voraus!
Hela123
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:20 Mi 25.07.2018 | | Autor: | fred97 |
> Die Radioaktivität in einer Probe soll mit einem
> Geigerzähler gemessen werden. Es ist bekannt, dass die
> Probe n Atome enthält. Wenn eines davon zerfällt wird der
> Zerfall mit einer bekannten Wahrscheinlichkeit von p
> detektiert. Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Atom in einer
> Sekunde zerfällt ist unbekannt und wird mit [mm]\theta \in [0,1][/mm]
> bezeichnet. Der Geigerzähler wird eine Sekunde auf die
> Probe gerichtet und die Anzahl der detektierten Zerfälle [mm]k \in \IZ_{\ge 0}[/mm]
> wird erfasst.
>
> Bestimme unter Verwendung eines geeigneten statistischen
> Modells den Maximum-Likelihood-Schätzer für [mm]\theta[/mm].
> Hallo Forum,
>
> ich habe eine Frage zu dieser Aufgabe.
>
> Ich habe das Ganze mit Poissonverteilung modelliert:
>
> [mm]P(\{k\}) = e^{-\lambda} \bruch{\lambda^k}{k!}[/mm] mit [mm]\lambda = np\theta[/mm].
>
> Für Maximum Likelihood Schötzung muss ich die Nullstellen
> der 1.Ableitung nach [mm]\theta[/mm] finden.
>
> Also:
>
> [mm]P(\{k\}) = e^{-(np\theta)} \bruch{(np\theta)^k}{k!}[/mm]
>
> [mm]\bruch{\partial P(\{k\})}{\partial \theta} = e^{-(np\theta)} (-np) \bruch{(np\theta)^k}{k!} + e^{-(np\theta)} \bruch{(np\theta)^{k-1} npk}{k!}[/mm]
>
> Ist das korrekt? Oder was ist mein Fehler?
Bis hier ist alles O.K.
>
> Für die Nullstellen entsprechend:
> [mm]e^{-(np\theta)} (-np) \bruch{(np\theta)^k}{k!} + e^{-(np\theta)} \bruch{(np\theta)^{k-1} npk}{k!} = 0[/mm]
>
> [mm]\bruch {e^{-(np\theta)} np ((np\theta)^{k-1} - k(np \theta)^k)}{k!} = 0[/mm]
Hier ist Dein Fehler ! Richtig ist
[mm]\bruch {e^{-(np\theta)} np (k(np\theta)^{k-1} - (np \theta)^k)}{k!} = 0[/mm]
>
> [mm]e^{-(np\theta)} np = 0[/mm] ist für jedes [mm]\theta[/mm] nicht
> gegeben.
> Bleibt:
> [mm](np\theta)^{k-1} - k(np \theta)^k = 0[/mm]
> [mm](np\theta)^{k-1}(1 - knp \theta) = 0[/mm]
>
> [mm](np\theta)^{k-1}= 0[/mm] erfüllt bei [mm]\theta =0[/mm], ist aber nicht
> das gesuchte Maximum
> [mm](1 - knp \theta) = 0[/mm]
> [mm]\theta = \bruch {1}{knp}[/mm] das wäre
> der gesuchter Term, aber es ist leider falsch, weil die
> Musterlösung sagt, [mm]\theta = \bruch {k}{np}[/mm]
>
> Wo habe ich einen Fehler gemacht?
>
> Schönen Dank im Voraus!
> Hela123
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:23 Mi 25.07.2018 | | Autor: | Hela123 |
Hallo Fred97,
vielen vielen Dank für Deine Antwort!
Jetzt ist natürlich alles klar!
Noch mal danke und schönen Gruß,
Hela123
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