matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Schulmathe
  Status Primarstufe
  Status Mathe Klassen 5-7
  Status Mathe Klassen 8-10
  Status Oberstufenmathe
    Status Schul-Analysis
    Status Lin. Algebra/Vektor
    Status Stochastik
    Status Abivorbereitung
  Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Bundeswettb. Mathe
    Status Deutsche MO
    Status Internationale MO
    Status MO andere Länder
    Status Känguru
  Status Sonstiges

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenUni-StochastikMaximum-Likelihood Schätzer
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Deutsch • Englisch • Französisch • Latein • Spanisch • Russisch • Griechisch
Forum "Uni-Stochastik" - Maximum-Likelihood Schätzer
Maximum-Likelihood Schätzer < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Uni-Stochastik"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Maximum-Likelihood Schätzer: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:39 Mo 08.02.2010
Autor: elba

Aufgabe
[mm] X_{1},...,X_{n} [/mm] seien stochastisch unabhängige und identisch geometrisch verteilte Zufallsgrößen mit Parameter [mm] \theta\in[0,1], [/mm] d.h. [mm] \IP(X_{i}=k)= \theta [/mm] * [mm] (1-\theta)^{k-1} [/mm] für [mm] k\in \IN [/mm]
a) Bestimmen Sie einen Maximum-Likelihood Schätzer für [mm] \theta. [/mm]
b) Überprüfen Sie, ob [mm] T_{1}(x_{1},...,x_{n})= \bruch{1}{n^2}*((\summe_{i=1}^{n} X_{i})^2) [/mm] ein erwartungstreuer Schätzer für [mm] \bruch{1}{\theta^2} [/mm] ist.
c) Überprüfen Sie, ob [mm] T_{2}(x_{1},...,x_{n})= \bruch{1}{n}*((\summe_{i=1}^{n} X_{i})) [/mm] ein konsistenter Schätzer für [mm] \bruch{1}{\theta} [/mm] ist.

Bei Aufgenteil a) muss ich doch die Ableitung von [mm] \theta [/mm] * [mm] (1-\theta)^{k-1} [/mm] bilden um die Nullstellen zu bestimmen, oder?
[mm] L'(\theta)= (1-p)^{n-1} -p*(n-1)*(1-p)^{n-2} [/mm]
Und L' muss ich gleich Null setzen:
[mm] (1-p)^{n-1} -p*(n-1)*(1-p)^{n-2}=0 [/mm]
dann erhalte ich nach umformungen folgende Nullstellen:
[mm] \theta_{1}=0 [/mm] und [mm] \theta_{2}=-n. [/mm]
Jetzt müsste ich ja die 2. Ableitung bilden um zu gucken, ob diese Nullstellen Maxima sind, da diese ja gesucht sind.
Wenn ich dann z.B. bekomme, dass [mm] \theta_{2}=-n [/mm] Maximum ist, ist das dann mein Maximum-Likelihood Schätzer??

Was ich bei b) und c) mit der Erwartungstreue und Konsistenz machen muss, weiß ich noch nicht so wirklich.

Danke für die Hilfe!



        
Bezug
Maximum-Likelihood Schätzer: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:46 Mo 08.02.2010
Autor: felixf

Moin!

> [mm]X_{1},...,X_{n}[/mm] seien stochastisch unabhängige und
> identisch geometrisch verteilte Zufallsgrößen mit
> Parameter [mm]\theta\in[0,1],[/mm] d.h. [mm]\IP(X_{i}=k)= \theta[/mm] *
> [mm](1-\theta)^{k-1}[/mm] für [mm]k\in \IN[/mm]
>  a) Bestimmen Sie einen
> Maximum-Likelihood Schätzer für [mm]\theta.[/mm]
>  b) Überprüfen Sie, ob [mm]T_{1}(x_{1},...,x_{n})= \bruch{1}{n^2}*((\summe_{i=1}^{n} X_{i})^2)[/mm]
> ein erwartungstreuer Schätzer für [mm]\bruch{1}{\theta^2}[/mm]
> ist.
>  c) Überprüfen Sie, ob [mm]T_{2}(x_{1},...,x_{n})= \bruch{1}{n}*((\summe_{i=1}^{n} X_{i}))[/mm]
> ein erwartungstreuer Schätzer für [mm]\bruch{1}{\theta}[/mm] ist.
>
>  Bei Aufgenteil a) muss ich doch die Ableitung von [mm]\theta[/mm] *
> [mm](1-\theta)^{k-1}[/mm] bilden um die Nullstellen zu bestimmen,
> oder?

Nein, wieso solltest du? Du musst die Funktion [mm] $\theta \mapsto P(X_1 [/mm] = [mm] x_1, \dots, X_n [/mm] = [mm] x_n) [/mm] = [mm] \prod_{i=1}^n P(X_i [/mm] = [mm] x_i) [/mm] = [mm] \prod_{i=1}^n [/mm] [ [mm] \theta [/mm] (1 - [mm] \theta)^{x_i - 1} [/mm] ]$ nach [mm] $\theta$ [/mm] ableiten und das gleich 0 setzen.

Um das zu tun, schreibe die Funktion doch erstmal in der Form [mm] $\theta^a [/mm] (1 - [mm] \theta)^b$ [/mm] mit $a, b$, die nicht von [mm] $\theta$ [/mm] (aber von $n$ und den [mm] $x_i$) [/mm] abhaengen.

> Was ich bei b) und c) mit der Erwartungstreue und
> Konsistenz machen muss, weiß ich noch nicht so wirklich.

Von Konsistenz steht da nichts. Du musst zeigen, dass [mm] $E(T_1(X_1, \dots, X_n)) [/mm] = [mm] \frac{1}{\theta^2}$ [/mm] und [mm] $E(T_2(X_1, \dots, X_n)) [/mm] = [mm] \frac{1}{\theta}$ [/mm] ist.

Dazu hilft es dir sicher zu wissen, was [mm] $E(X_i)$ [/mm] und [mm] $E(X_i^2)$ [/mm] sind. Rechne die zuerst aus!

LG Felix


Bezug
                
Bezug
Maximum-Likelihood Schätzer: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:49 Mo 08.02.2010
Autor: elba

Ok, danke erstmal.
bei c) solllte es konsistent und nicht erwartungstreu heißen. Ich hatte mich da verschrieben.

Bezug
                        
Bezug
Maximum-Likelihood Schätzer: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:11 Mo 08.02.2010
Autor: elba

ok, also ist a=n und b= [mm] (\summe_{i=1}^{n} X_{i}) [/mm] -n

Dann ist [mm] L'(\theta)= a*\theta^{a-1}*(1-\theta)^b [/mm] + [mm] -\theta^a*b*(1-\theta)^{b-1}. [/mm]
Wenn ich das dann 0 setze, und nach [mm] \theta [/mm] umforme erhalte ich:
[mm] \theta= \bruch{a}{a+b} [/mm]
Stimmt das??


Bezug
                                
Bezug
Maximum-Likelihood Schätzer: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:16 Mo 08.02.2010
Autor: felixf

Hallo!

> ok, also ist a=n und b= [mm](\summe_{i=1}^{n} X_{i})[/mm] -n

Genau.

> Dann ist [mm]L'(\theta)= a*\theta^{a-1}*(1-\theta)^b[/mm] +
> [mm]-\theta^a*b*(1-\theta)^{b-1}.[/mm]

Also gleich $[a (1 - [mm] \theta) [/mm] - b [mm] \theta [/mm] ] [mm] \theta^{a - 1} [/mm] (1 - [mm] \theta)^{b - 1}$. [/mm]

>  Wenn ich das dann 0 setze, und nach [mm]\theta[/mm] umforme erhalte
> ich:
>  [mm]\theta= \bruch{a}{a+b}[/mm]
>  Stimmt das??

Ja.

Jetzt kannst du noch ueberpruefen, ob auch wirklich ein Maximum vorliegt. (Das ist jedoch recht wahrscheinlich :) )

LG Felix


Bezug
                                        
Bezug
Maximum-Likelihood Schätzer: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:47 Mo 08.02.2010
Autor: elba

dafür müsste ich ja jetzt die 2. Ableitung bilden. Das ist allerdings eine ellenlange Funktion.
Ich hab sie mal versucht zu berechnen. Aber selbst wenn ich da jetzt mein [mm] \theta= \bruch{a}{a+b} [/mm] einsetzen würde, wüsste ich nicht wie ich sehe, ob das nun wirklich ein Maximum ist. Da ich ja nicht wirklich Zahlenwerte erhalte.

Und bei b) Wenn ich also den [mm] E(X_{i}) [/mm] berechne, erhalte ich [mm] \bruch{1}{\theta}. [/mm] Für [mm] E((X_{i})^2) [/mm] steck ich irgendwie fest, ich bin mir auch gar nicht sicher, ob das bis dahin richtig ist:
[mm] E((X_{i})^2)=\summe_{n=1}^{\infty} k*(1-\theta)^{2k-2}*\theta^2= \bruch{\theta^2}{(1-\theta)^2}*\summe_{n=1}^{\infty} k*(1-\theta)^{2n} [/mm]
So, wenn das bis dahin stimmt, weiß ich jetzt nicht wie ich da weiterkomme.

Bezug
                                                
Bezug
Maximum-Likelihood Schätzer: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:46 Mo 08.02.2010
Autor: felixf

Moin!

> dafür müsste ich ja jetzt die 2. Ableitung bilden. Das
> ist allerdings eine ellenlange Funktion.

Naja, es geht: es kommt $[(a-1) a (1 - [mm] \theta)^2 [/mm] - 2 a b [mm] \theta [/mm] (1 - [mm] \theta) [/mm] + b (b - 1) [mm] \theta^2 [/mm] ] [mm] \theta^{a - 2} [/mm] (1 - [mm] \theta)^{b - 2}$ [/mm] heraus, wenn ich mich nicht verrechnet habe.

> Ich hab sie mal versucht zu berechnen. Aber selbst wenn ich
> da jetzt mein [mm]\theta= \bruch{a}{a+b}[/mm] einsetzen würde,

Ich habe [mm] $L''(\theta) [/mm] = -(a + [mm] b)^{3-(a+b)} a^{a-1} b^{b-1}$ [/mm] raus. Da $a+b = [mm] \sum_{i=1}^n X_i$ [/mm] ist ist dies [mm] $\ge [/mm] 0$. Weiterhin ist $a > 0$, womit [mm] $a^{a-1} [/mm] > 0$ ist.

Also sieht man gleich ein paar Probleme: falls [mm] $\sum_{i=1}^n X_i [/mm] = 0$ ist, ist [mm] $L''(\theta) [/mm] = 0$. Man muesste also weitere Ableitungen betrachten. Ist [mm] $\sum_{i=1}^n X_i [/mm] > 0$, so ist $-(a + [mm] b)^{3 - (a+b)} a^{a-1} [/mm] < 0$; es muss also [mm] $b^{b-1} [/mm] > 0$ sein.

Hier hat man wieder zwei Probleme:
a) Ist $b = 0$, so steht da [mm] $0^{-1}$. [/mm] Das ist ungut.
b) Ist $b < 0$, so ist [mm] $b^{b-1}$ [/mm] fuer gerades $b$ negativ.

Wenn diese Faelle aber nicht eintreten, hat man sozusagen Glueck gehabt und [mm] $\theta [/mm] = [mm] \frac{a}{a + b}$ [/mm] ist wirklich ein Maximum ;-)

Allerdings, ich sehe gerade: bei euch ist $0 [mm] \not\in \IN$, [/mm] nicht? Aber dann gilt immer $b [mm] \ge [/mm] 0$ und $a + b > 0$, womit man nur noch den Problemfall $b = 0$ hat, also [mm] $X_i [/mm] = 1$ fuer alle $i$.

> wüsste ich nicht wie ich sehe, ob das nun wirklich ein
> Maximum ist. Da ich ja nicht wirklich Zahlenwerte erhalte.
>  
> Und bei b) Wenn ich also den [mm]E(X_{i})[/mm] berechne, erhalte ich
> [mm]\bruch{1}{\theta}.[/mm]

Das kommt wohl hin.

> Für [mm]E((X_{i})^2)[/mm] steck ich irgendwie
> fest, ich bin mir auch gar nicht sicher, ob das bis dahin
> richtig ist:
>  [mm]E((X_{i})^2)=\summe_{n=1}^{\infty} k*(1-\theta)^{2k-2}*\theta^2= \bruch{\theta^2}{(1-\theta)^2}*\summe_{n=1}^{\infty} k*(1-\theta)^{2n}[/mm]

Du hast den Erwartungswert falsch ausgerechnet: [mm] $E((X_i)^2)$ [/mm] ist nicht [mm] $\sum_{n=1}^\infty [/mm] k (1 - [mm] \theta)^{2 k - 2} \theta^2$, [/mm] sondern [mm] $\sum_{n=1}^\infty k^2 [/mm] (1 - [mm] \theta)^{k-1} \theta$. [/mm]

> So, wenn das bis dahin stimmt, weiß ich jetzt nicht wie
> ich da weiterkomme.

Ein Tipp: leite $x [mm] \sum_{n=0}^\infty [/mm] n [mm] x^n$ [/mm] mal nach $x$ ab. Kannst du auch einen anderen Ausdruck dafuer angeben?

(Wenn dir das nichts sagt, leite doch erstmal [mm] $\sum_{n=0}^\infty x^n [/mm] = [mm] \frac{1}{1 - x}$ [/mm] ab.)

LG Felix


Bezug
                        
Bezug
Maximum-Likelihood Schätzer: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:12 Mo 08.02.2010
Autor: felixf

Moin!

> Ok, danke erstmal.
>  bei c) solllte es konsistent und nicht erwartungstreu
> heißen. Ich hatte mich da verschrieben.

Ok. [mm] $E(X_i)$ [/mm] und [mm] $E(X_i^2)$ [/mm] ausrechnen wird dir trotzdem helfen ;-) Du wirst vermutlich die []Tschebyschow-Ungleichung benutzen koennen, dazu brauchst du [mm] $E(T_2(X_1, \dots, X_n))$ [/mm] und [mm] $Var(T_2(X_1, \dots, X_n))$, [/mm] also [mm] $E((T_2(X_1, \dots, X_n))^2)$ [/mm] (da hilft dir auch Teil (b) weiter).

LG Felix


Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Uni-Stochastik"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.schulmatheforum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]