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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:01 Sa 01.07.2017 | | Autor: | mimo1 |
| Aufgabe | Sei [mm] \theta \in \IZ [/mm] eine ganze Zahl und X eine Zufallsvariable mit Verteilungsfunktion
[mm] F(x):=\begin{cases} 0, & \mbox{falls } x\le \theta \mbox{} \\ x-\theta, & \mbox{falls } x\in (\theta,\theta+1) \mbox{ }\\ 1, & \mbox{sonst} \end{cases}
[/mm]
Zu einer Beobachtung [mm] x\in \IR\setminus \IZ [/mm] bestimme man den Maximum-Likelihood-Schätzwert [mm] \hat{\theta} [/mm] für [mm] \theta.
[/mm]
Ist der zugehörige Schätzer erwartungstreu für [mm] \theta? [/mm] |
Hallo zusammen,
ich habe erstmal folgendes gemacht:
[mm] L(x_1,...,x_n|\theta)=\summe_{i=1}^{n}x_i-\theta=-\n\theta-\summe_{i=1}^{n}x_i
[/mm]
Dann log angewendet: [mm] logL=log(-n\theta)+log(\summe_{i=1}^{n}x_i
[/mm]
dann ist L'= [mm] -\bruch{1}{n\theta}+\bruch{1}{\summe_{i=1}^{n}x_i}\overset{!}{=}0
[/mm]
dann habe ich es nach [mm] \theta [/mm] umgeformt und erhalte dann:
[mm] \hat{\theta}=\bruch{\summe_{i=1}^{n}x_i}{n} [/mm] ML-Schätzer.
Zu erwartungstreu:
z.z. [mm] E(\hat{\theta})=\theta
[/mm]
Dann ist [mm] E(\theta)=E(\bruch{\summe_{i=1}^{n}x_i}{n})\overset{E linear}{=}\bruch{1}{n}\summe_{i=1}^{n}E(x_i)=\bruch{1}{n}*n*\theta=\theta
[/mm]
[mm] \Rightarrow \hat{\theta} [/mm] erwartungstreu für [mm] \theta
[/mm]
Stimmt das, was ich gemacht habe?
Vielen Dank im Voraus.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:00 Sa 01.07.2017 | | Autor: | luis52 |
> Stimmt das, was ich gemacht habe?
Moin, leider nicht. Ich lese, dass *eine* Beobachtung $ [mm] x\in \IR\setminus \IZ [/mm] $ vorliegt, nicht [mm] $n=2,3,\ldots$ [/mm] Z.B. $x=5.3$. wie sieht dann die Likelihoodfunktion aus?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:43 Sa 01.07.2017 | | Autor: | mimo1 |
würde dann die Likelihodd.Fkt. folgend ausschauen:
[mm] L(x_1=5,3|\theta)=5,3- \theta [/mm] bzw [mm] L(x_1,...,x_n|\theta)=\produkt_{i=1}^n(x_i-\theta)?
[/mm]
Ich stehe gerade total auf dem Schlauch. Könntest du mir da bitte weiterhelfen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:23 Sa 01.07.2017 | | Autor: | luis52 |
> Könntest du mir da bitte weiterhelfen?
Klar. Die Dichte ist
$ [mm] f_\theta(x):=\begin{cases} 1, & \mbox{falls } x\in (\theta,\theta+1) \mbox{ }\\ 0, & \mbox{sonst} \end{cases} [/mm] $
so dass die Likelihoodfunktion fuer eine Stichprobe [mm] $x_1,\dots x_n$ [/mm] gegeben ist durch
[mm] $L(\theta)=\prod_{i=1}^nf_\theta(x_i)$.
[/mm]
Im Beispiel oben ist dann $n=1$ und [mm] $L(\theta)=f_\theta(5.3)$. [/mm] Nun lass das [mm] $\theta$ [/mm] von [mm] $\theta\approx0$ [/mm] langsam groesser werden ...
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:16 So 02.07.2017 | | Autor: | mimo1 |
nochmals vielen Dank für deinen Hinweis.
Für n=1 wäre dann z.B. für [mm] x_1=5,3 [/mm]
[mm] L(\theta)=f_{\theta}(x_1)=\begin{cases} 1, & \mbox{falls } \theta\ge 5 \mbox{ } \\ 0, & \mbox{sonst} \mbox{} \end{cases}
[/mm]
Habe ich es soweit verstanden?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:51 Mo 03.07.2017 | | Autor: | luis52 |
> nochmals vielen Dank für deinen Hinweis.
>
> Für n=1 wäre dann z.B. für [mm]x_1=5,3[/mm]
>
> [mm]L(\theta)=f_{\theta}(x_1)=\begin{cases} 1, & \mbox{falls } \theta\ge 5 \mbox{ } \\ 0, & \mbox{sonst} \mbox{} \end{cases}[/mm]
>
> Habe ich es soweit verstanden?
*Ich* erhalte [mm] $f_{\theta}(x_1)=f_{\theta}(5.3)=1\iff\theta<5.3<\theta+1\iff4.3<\theta<5.3$. [/mm] Allgemein:
[mm]L(\theta)=f_{\theta}(x_1)=\begin{cases} 1, & \mbox{falls } x_1-1<\theta\le x_1 \mbox{ } \\ 0, & \mbox{sonst} \mbox{} \end{cases}[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:25 Di 04.07.2017 | | Autor: | mimo1 |
Wäre dann der ML-Schätzer folgend:
[mm] \hat{\theta}=(x_1-1,x_1) [/mm]
Kann man das so schreiben?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:58 Di 04.07.2017 | | Autor: | luis52 |
> Wäre dann der ML-Schätzer folgend:
>
> [mm]\hat{\theta}=(x_1-1,x_1)[/mm]
>
> Kann man das so schreiben?
Nein, der ML-Schaetzer ist hier nicht eindeutig festgelegt. Jeder Wert aus dem Intervall ist geeignet.
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