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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:39 So 07.01.2007 | | Autor: | Moe007 |
| Aufgabe | Beim Sommerfest sollen K [mm] \ge [/mm] 1 Kaninchen verlost werden. Dazu werden N [mm] \ge [/mm] K Lose gedruckt, davon K Gewinne, der Rest Nieten. Der kleine Fritz bringt x Kaninchen nach Hause, 0 [mm] \le [/mm] x [mm] \le [/mm] K.
Wie viele Lose hat er wohl gekauft? Gebe eine Schätzung mittels Maximum-Likelihood-Methode! |
Hallo,
ich habe versucht, die Aufgabe zu lösen. Aber ich weiß nicht, ob das so richtig ist. Ich hoffe, dass mich jemand verbessern wird, wenn was falsch ist. Danke 
Zunächst habe ich das statistische Modell aufgestellt.
[mm] \Omega [/mm] = {0, ..., N}, F= [mm] P(\Omega) \sigma-Algebra, \Theta [/mm] = {x, x+1,....}, da Fritz ja mind. x Lose gezogen haben muss.
Stimmt das so?
Für [mm] \theta \in \Theta (\theta [/mm] ist die gesuchte Anzahl an Losen, die Fritz gekauft hat) ist [mm] P_{\theta}({x}) [/mm] = [mm] H_{\theta; k, N-k}({x}), [/mm] x [mm] \in [/mm] {0,...., [mm] \theta [/mm] }.
Ich hab mir gedacht, dass hier die Wahrscheinlichkeitsverteilung die hypergeom. Verteilung ist, wegen Ziehen ohne Zurücklegen.
Stimmt das?
Also ist [mm] P_{\theta}({x}) [/mm] = [mm] \bruch{\vektor{k \\ x} \vektor{N-k \\ \theta - x}}{\vektor{N \\ \theta}}
[/mm]
Jetzt ist doch ein [mm] \theta [/mm] gesucht, für das dies maximal ist oder?
Es gilt nun [mm] \bruch{P_{\theta}({x})}{P_{\theta - 1}({x})} [/mm] = [mm] \bruch{\vektor{N-k \\ \theta - x} \vektor{N \\ \theta - 1}}{\vektor{N \\ \theta} \vektor{N-k \\ \theta - 1 - x}} [/mm] = [mm] \bruch{(N- \theta)(N-k)}{N(N-k- \theta +x)} \ge [/mm] 1 [mm] \gdw \theta [/mm] k [mm] \ge [/mm] N x [mm] \gdw \theta \ge \bruch{Nx}{k}, [/mm] k [mm] \not= [/mm] 0.
Also ist [mm] P_{\theta}({x}) [/mm] für [mm] \theta \ge \bruch{Nx}{k} [/mm] maximal.
D.h. T(x) = [mm] \bruch{Nx}{k} [/mm] der Maximum-Likelihood-Schätzer.
Also hat Fritz [mm] \bruch{Nx}{k} [/mm] Lose gekauft.
Ich bin mir nicht sicher, ob das so stimmt.
Ich hoffe daher, dass mich jemand verbessern würde, wenn ich was falsch gemacht habe.
Vielen Dank,
Moe
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:46 So 07.01.2007 | | Autor: | luis52 |
> Also ist [mm]P_{\theta}({x})[/mm] für [mm]\theta \ge \bruch{Nx}{k}[/mm]
> maximal.
> D.h. T(x) = [mm]\bruch{Nx}{k}[/mm] der Maximum-Likelihood-Schätzer.
> Also hat Fritz [mm]\bruch{Nx}{k}[/mm] Lose gekauft.
Moe007, das hast du wirklich prima gemacht.
Der Schluss ist etwas vorschnell (wenngleich korrekt). Der Parameter
[mm] $\theta$ [/mm] muss auch $ [mm] \bruch{P_{\theta}({x})}{P_{\theta + 1}({x})}\ge [/mm] 1 $ erfuellen...
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 19:25 So 07.01.2007 | | Autor: | Moe007 |
Hallo luis52,
das freut mich sehr, dass ich das richtig gemacht habe
Ich hab nur noch eine Frage zu deiner Antwort.
Warum muss man denn noch zeigen, dass [mm] \theta \bruch{P_{\theta}({x})}{P_{\theta + 1}({x})}\ge [/mm] 1 erfüllt. Wir haben in der Vorlesung ein Beispiel gerechnet, und da wurde nur [mm] \bruch{P_{\theta}({x})}{P_{\theta - 1}({x})}\ge [/mm] 1 überprüft.
Oder muss man beides zeigen, um sicherzugehen, dass [mm] P_{\theta}({x}) [/mm] bei [mm] \theta [/mm] maximal ist?
Ich hab mal [mm] \bruch{P_{\theta}({x})}{P_{\theta + 1}({x})} [/mm] berechnet und da kommt bei mir für [mm] \theta [/mm] was anderes heraus als [mm] \bruch{Nx}{k}:
[/mm]
[mm] \bruch{P_{\theta}({x})}{P_{\theta + 1}({x})} [/mm] = [mm] \bruch{(N - \theta) (\theta - x + 1)}{(\theta + 1) (N-k- \theta + x)} \ge [/mm] 1 [mm] \gdw [/mm] -Nx [mm] \ge [/mm] - [mm] \theta [/mm] k - k + x [mm] \gdw \theta \le \bruch{Nx - k +x}{k}
[/mm]
Was habe ich falsch gemacht? Ich versteh nicht, warum nicht dasselbe Ergebnis heraus kommt.
Ich hoffe, du erklärst es mir.
Vielen Dank nochmal für deine Hilfe.
Viele Grüße,
Moe
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:13 So 07.01.2007 | | Autor: | luis52 |
Moin,
habe das Ganze einmal genauer durchgerechnet.
In deinem ersten Posting schreibst du:
$ [mm] \bruch{P_{\theta}({x})}{P_{\theta - 1}({x})} [/mm] = [mm] \bruch{(N-\theta)(N-k)}{N(N-k- \theta +x)}$.
[/mm]
Das scheint mir nicht korrekt zu sein. *Ich* erhalte
$ [mm] \bruch{P_{\theta}({x})}{P_{\theta - 1}({x})}=\frac{\theta(N-k-\theta+1+x)}{(\theta-x)(N-\theta+1)}$, [/mm] woraus sich
[mm] $\theta\le [/mm] (N+1)x/k$ ergibt.
Weiter errechne ich
$ [mm] \bruch{P_{\theta}({x})}{P_{\theta + 1}({x})}= \frac{(N-\theta)(\theta+1-x)}{(\theta+1)(N-k-\theta+x)}$ [/mm] woraus sich
[mm] $\theta\ge [/mm] (N+1)x/k-1$ ergibt. Zusammenfassend ist der ML-Schaetzer [mm] $\hat \theta$ [/mm] die ganze(n)
Zahl(en) im abgeschlossenen Intevall $[(N+1)x/k-1, (N+1)x/k]$.
hth
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:20 Mo 15.01.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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