Maximum-Likehood < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 21:13 Di 01.08.2006 | | Autor: | Moe_Hammed |
| Aufgabe | [mm] f_{x}(x)=\begin{cases} \bruch{1}{ \alpha} * x^{ \bruch{1-\alpha}{ \alpha}} , & \mbox{für } 1>x>0 \mbox{ } \\ 0, & \mbox{sonst } \mbox{ } \end{cases}
[/mm]
Berechnen Sie mit der Maximum-Likehood-Methode den Schätzer [mm] \alpha [/mm] für n Beobachtungen x=( [mm] x_{1}, x_{2},.., x_{n}) [/mm] |
Hallo!
Ich würde gerne Schritt für Schritt wissen, wie man diese Aufgabe löst. Ich verstehe die allgemeine Vorgehensweise in der Likehood Methode, kann auch den Schätzer für die Poisson Verteilung berechnen/nachvollziehen.
Ähnlich verhält es sich mit einer anderen Aufgabe:
[mm] P(X=k)=\begin{cases} q^{k}* q^{k+1}, & \mbox{für } k=1, 2,... \mbox{ } \\ 0, & \mbox{sonst} \mbox{ } \end{cases}
[/mm]
Es wäre toll, wenn jemand das erklären könnte, da an unserer Lehranstalt anscheinend keiner bereit/fähig dazu ist.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:18 Di 01.08.2006 | | Autor: | Moe_Hammed |
Sorry, da hat sich der Fehlerteufel eingeschlichen... Natürlich ist:
[mm] P(X=k)=\begin{cases} q^{k} - q^{k+1}, & \mbox{für } k=1,2,... \mbox{ } \\ 0, & \mbox{sonst } \mbox{} \end{cases}
[/mm]
und der Schätzer soll für q bestimmt werden!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:27 Mi 02.08.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo Moe!
> [mm]f_{x}(x)=\begin{cases} \bruch{1}{ \alpha} * x^{ \bruch{1-\alpha}{ \alpha}} , & \mbox{für } 1>x>0 \mbox{ } \\ 0, & \mbox{sonst } \mbox{ } \end{cases}[/mm]
>
> Berechnen Sie mit der Maximum-Likehood-Methode den Schätzer
> [mm]\alpha[/mm] für n Beobachtungen x=( [mm]x_{1}, x_{2},.., x_{n})[/mm]
>
> Hallo!
>
> Ich würde gerne Schritt für Schritt wissen, wie man diese
> Aufgabe löst. Ich verstehe die allgemeine Vorgehensweise
> in der Likehood Methode, kann auch den Schätzer für die
> Poisson Verteilung berechnen/nachvollziehen.
Wenn du das allgemeine Prinzip verstanden hast, dann schreib es doch mal hier hin und wende es auf die obige Dichte und die unten angegebene Verteilung an. Wo bleibst du stecken?
> Ähnlich verhält es sich mit einer anderen Aufgabe:
>
> [mm]P(X=k)=\begin{cases} q^{k}* q^{k+1}, & \mbox{für } k=1, 2,... \mbox{ } \\ 0, & \mbox{sonst} \mbox{ } \end{cases}[/mm]
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:20 Mi 02.08.2006 | | Autor: | Moe_Hammed |
Ich schreibe morgen eine Klausur und da könnte so etwas drankommen. Ich habe zwar versucht Lösungen zu finden, allerdings ergeben die Lösungen (meistens) keinen Sinn. Meine Versuche hier darzulegen, könnte Stunden dauern(wegen der Eigabe von Formeln und Gleichungen, da ich relativ lange brauche um meine Belange hier auch korrekt abzubilden  ). Unter anderen Umständen würde ich das machen, allerdings brauche ich jetzt die Zeit um mich auf die Klausur vorzubereiten. Es hört sich nach Faulheit an, ist es aber nicht, da ich zu wenig Zeit habe. Wenn Du oder jemand anderes, mir das vorrechnen könnte, wäre das echt super. Sonst muß ich leider ohne dieses Wissen in die Klausur :-(.
Was mir am meisten Probleme bereitet ist der erste Schritt, nämlich das Produkt über die n Versuchsausgänge der Funktion umzuschreiben.
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Da ich es jetzt doch wissen will:
[mm] f(x_{1})*f( x_{2})*...f( x_{n})= \bruch{1}{ \alpha^{n}}* \produkt_{i=1}^{n} X_{i}^{ \bruch{1- \alpha}{ \alpha}}
[/mm]
Wie soll man das weiter vereinfachen? So kann man da nichts logarithmieren, differenzieren und nullsetzen...und da häng ich z.B
nächste Funktion:
[mm] P(X=k)=\begin{cases} q^{k}- q^{k+1}, & \mbox{für } k=1, 2,... \mbox{ } \\ 0, & \mbox{sonst} \mbox{ } \end{cases}:
[/mm]
[mm] \produkt_{i=1}^{n}q^{k}-q^{k+1}
[/mm]
[mm] =\produkt_{i=1}^{n}q^{k}*{(1-q)}
[/mm]
[mm] =q^{ \summe_{i=1}^{n} k_{i} }*\produkt_{i=1}^{n}{(1-q)}
[/mm]
[mm] =q^{ \summe_{i=1}^{n} k_{i} }*(1-q)^n=L
[/mm]
[mm] log_{q}(L)= {\summe_{i=1}^{n} k_{i} } [/mm] + n* [mm] log_{q}(1-q)
[/mm]
[mm] \bruch{\partial L}{\partial q}= \bruch{n}{(1-q)*ln q}=0
[/mm]
Ergibt keinen Sinn oder? Also Felix, Du siehst es ist nicht so einfach... Und ich danke der automatischen Wiederherstellung, da mein Browserfenster sich kurz vor dem posting verabschiedet hat!!! Wäre für schnelle Hilfe sehr dankbar!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:49 Mi 02.08.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> [mm]f(x_{1})*f( x_{2})*...f( x_{n})= \bruch{1}{ \alpha^{n}}* \produkt_{i=1}^{n} X_{i}^{ \bruch{1- \alpha}{ \alpha}}[/mm]
Das kannst du noch umschreiben zu [mm] $\frac{1}{\alpha^n} \left( \prod_{i=1}^n x_i \right)^{\frac{1-\alpha}{\alpha}}$.
[/mm]
> Wie soll man das weiter vereinfachen? So kann man da nichts
> logarithmieren, differenzieren und nullsetzen...und da häng
> ich z.B
Wenn du das Logarithmierst, erhaelst du [mm] $\log [/mm] L = -n [mm] \log \alpha [/mm] + [mm] \frac{1 - \alpha}{\alpha} \log \prod_{i=1}^n x_i$. [/mm] Ableiten liefert [mm] $\frac{\partial (\log L)}{\partial \alpha} [/mm] = [mm] -\frac{n}{\alpha} [/mm] - [mm] \frac{\log \prod_{i=1}^n x_i}{\alpha^2}$. [/mm] Gleichsetzen mit $0$ liefert die Gleichung [mm] $\alpha [/mm] = [mm] -\frac{1}{n} \log \prod_{i=1}^n x_i [/mm] = [mm] -\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \log x_i$.
[/mm]
> nächste Funktion:
>
> [mm]P(X=k)=\begin{cases} q^{k}- q^{k+1}, & \mbox{für } k=1, 2,... \mbox{ } \\ 0, & \mbox{sonst} \mbox{ } \end{cases}:[/mm]
>
> [mm]\produkt_{i=1}^{n}q^{k}-q^{k+1}[/mm]
Du meinst [mm] $\prod_{i=1}^n \left( q^{k_i} - q^{k_1+1} \right)$, [/mm] oder?
> [mm]=\produkt_{i=1}^{n}q^{k}*{(1-q)}[/mm]
>
> [mm]=q^{ \summe_{i=1}^{n} k_{i} }*\produkt_{i=1}^{n}{(1-q)}[/mm]
>
> [mm]=q^{ \summe_{i=1}^{n} k_{i} }*(1-q)^n=L[/mm]
>
> [mm]log_{q}(L)= {\summe_{i=1}^{n} k_{i} }[/mm] + n* [mm]log_{q}(1-q)[/mm]
>
> [mm]\bruch{\partial L}{\partial q}= \bruch{n}{(1-q)*ln q}=0[/mm]
Wie kommst du auf die letzte Zeile?!
Die vorletzte ist schon ok, aber warum nimmst du den Logarithmus zur Basis $q$? Da du $q$ suchst, ist das keine gute Idee.
Schreib doch $L = [mm] e^{\sum_{i=1}^n k_i \cdot \log q} [/mm] (1 - q)$ und somit [mm] $\log(L) [/mm] = [mm] \log [/mm] q [mm] \cdot \sum_{i=1}^n k_i [/mm] + [mm] \log(1 [/mm] - q)$. Damit ist [mm] $\frac{\partial \log(L)}{\partial q} [/mm] = [mm] \frac{1}{q} \cdot \sum_{i=1}^n k_i [/mm] - [mm] \frac{1}{1 - q}$. [/mm] Das gleich Null ergibt die Gleichung $(1 - q) [mm] \cdot \sum_{i=1}^n k_i [/mm] = q$ und somit [mm] $\frac{\sum_{i=1}^n k_i}{1 + \sum_{i=1}^n k_i} [/mm] = q$, voila!
LG Felix
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| Aufgabe | Wie genau kommst du von
[mm] \frac{1}{\alpha^n} \left( \prod_{i=1}^n x_i \right)^{\frac{1-\alpha}{\alpha}} [/mm] zu
[mm] \log [/mm] L = -n [mm] \log \alpha [/mm] + [mm] \frac{1 - \alpha}{\alpha} \log \prod_{i=1}^n x_i [/mm]
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und mit log meinst du den natürlichen Logarithmus (wir schreiben ln) oder? Wieso nimmst du ausgerechnet diesen Logarithmus?
Ich habe auch nicht ganz parat, warum du
L = [mm] e^{\sum_{i=1}^n k_i \cdot \log q} [/mm] (1 - q)
schreiben kannst. Sonst aber Daumen hoch. Danke!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:31 Mi 02.08.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Wie genau kommst du von
>
> [mm]\frac{1}{\alpha^n} \left( \prod_{i=1}^n x_i \right)^{\frac{1-\alpha}{\alpha}}[/mm]
> zu
>
>
> [mm]\log[/mm] L = -n [mm]\log \alpha[/mm] + [mm]\frac{1 - \alpha}{\alpha} \log \prod_{i=1}^n x_i[/mm]
>
>
>
>
> und mit log meinst du den natürlichen Logarithmus (wir
> schreiben ln) oder?
Genau!
> Wieso nimmst du ausgerechnet diesen Logarithmus?
Welchen denn sonst? Es ist ja [mm] $\log_a [/mm] x = [mm] \frac{\ln x}{\ln a}$, [/mm] womit bei einer anderen Basis sich nur ein Faktor herinschmuggelt (und wenn du die Basis [mm] $\alpha$ [/mm] bzw. $q$ waehlst, wird das Ableiten schwerer). Also nimmt man am Besten den, wo der Faktor gerade 1 ist...
> Ich habe auch nicht ganz parat, warum du
>
> L = [mm]e^{\sum_{i=1}^n k_i \cdot \log q}[/mm] (1 - q)
>
> schreiben kannst.
Es ist ja [mm] $q^x [/mm] = [mm] e^{x \cdot \log q}$. [/mm] Und wenn du jetzt $x = [mm] \sum_{i=1}^n k_i$ [/mm] einsetzt...
LG Felix
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