Maximierungsprinzip < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:53 Di 06.01.2015 | | Autor: | Exel84 |
| Aufgabe | Aufgabe:
Bestimmen Sie die lokalen Extrema von |f(z)| für f(z) = 2 + [mm] z^{2} [/mm] auf [mm] \IC. [/mm] Bestimmen Sie außerdem die Extrema auf dem abgeschlossenen Kreis |z| ≤ 1. |
Hallo Zusammen,
ich habe bis jetzt den Ansatz:
f(z) = 2 + [mm] z^{2} [/mm] mit z = x+j*y
= [mm] (x+j*y)^{2} [/mm] + 2
= [mm] x^{2} [/mm] - [mm] y^{2} [/mm] + 2 + j*2x*y
mit der Cauchy-Riemann-Gleichung:
[mm] \bruch{\partial u}{\partial x} [/mm] = [mm] \bruch{\partial v}{\partial y} [/mm] und [mm] \bruch{\partial u}{\partial y} [/mm] = [mm] -\bruch{\partial v}{\partial x}
[/mm]
[mm] u_x [/mm] = 2x
[mm] v_y [/mm] = 2x
[mm] u_y [/mm] = -2y
[mm] v_x [/mm] = 2y
Damit ist f(z) holomorph
Nullstelle berechnen:
f(z) = 0
(=) z = [mm] \pm \wurzel{2}j
[/mm]
Nun liegt mein Problem beim zweiten Teil der Aufgabe. Man soll die Extrema auf dem abgeschlossenen Kreis |z| ≤ 1 bestimmen.
Kann mir da bitte jemand helfen?
Vielen Dank im Voraus.
Vg Exel84
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:32 Di 06.01.2015 | | Autor: | chrisno |
> ... ich habe bis jetzt den Ansatz:
>
> f(z) = 2 + [mm]z^{2}[/mm] mit z = x+j*y
>
> = [mm](x+j*y)^{2}[/mm] + 2
>
> = [mm]x^{2}[/mm] - [mm]y^{2}[/mm] + 2 + j*2x*y
ok, aber wofür?
>
> mit der Cauchy-Riemann-Gleichung:
>
> [mm]\bruch{\partial u}{\partial x}[/mm] = [mm]\bruch{\partial v}{\partial y}[/mm]
> und [mm]\bruch{\partial u}{\partial y}[/mm] = [mm]-\bruch{\partial v}{\partial x}[/mm]
>
> [mm]u_x[/mm] = 2x
> [mm]v_y[/mm] = 2x
>
> [mm]u_y[/mm] = -2y
> [mm]v_x[/mm] = 2y
>
> Damit ist f(z) holomorph
Was hast Du davon?
>
> Nullstelle berechnen:
>
> f(z) = 0
>
> (=) z = [mm]\pm \wurzel{2}j[/mm]
Wie zuvor: warum hast Du diese Rechnung durchgeführt?
>
>
> Nun liegt mein Problem beim zweiten Teil der Aufgabe. Man
> soll die Extrema auf dem abgeschlossenen Kreis |z| ≤ 1
> bestimmen.
>
> Kann mir da bitte jemand helfen?
Diesen Teil der Aufgabe zu beabeiten macht derzeit noch keinen Sinn. Du musst
- die Aufgabe genau lesen
- eine Strategie zur Lösung formulieren
- dann sollten wir über diese Strategie diskutieren
- danach können die lokalen Extrema bestimmt werden.
Nachtrag:
Freds Antwort zeigt, dass ich meine Antwort besser nicht geschrieben hätte.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 06:17 Mi 07.01.2015 | | Autor: | fred97 |
1. |f| hat lokale und globale Minimalstellen min den Nullstellen von f. Beachte aber , für später , dass diese Nullstellen nicht in
[mm] K:=\{z \in \IC: |z| \le 1\}
[/mm]
liegen.
2. |f| hat in [mm] \IC [/mm] keine lokalen Maximalstellen, warum ?
Man sagt übrigends "Maximumprinzip" und nicht "Maximierungsprinzip"
3. f ist auf dem Inneren von K holomorph und auf K stetig. Da f in K keine Nullstelle hat, werden das Max. und das Min von |f| auf [mm] \partial [/mm] K angenommen (Maximumprinzip für beschränkte Gebiete).
Untersuche also [mm] g(t):=|f(e^{jt})| [/mm] auf $[0, 2 [mm] \pi]$ [/mm] auf Extrema.
FRED
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