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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:34 Fr 09.02.2007 | | Autor: | diemasse |
| Aufgabe | in ein gleichschenkliges Dreiseck mi der Grundlinie c=4cm und der Höhe h=5cm
soll ein Rechteck eingezeichnet werden, dessen Seite auf der Grundlinie liegt. Bestimmen Sie die Maße des Rechtecks so, dass es möglicht großen Flächeninhalt besitzt. |
Mein Ansatz für den Flächeninhalt ist:
A= (c-x)*(h-y) also: (4-x)*(5-y) Und jetzt komme ich nicht weiter. Kann mir jemand helfen?Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:04 Fr 09.02.2007 | | Autor: | GerKill |
Hallo,
schwer ist es nicht, am besten viele Bilder malen und alles brav benennen:
Sei also [mm]x[/mm] die Unterseite des Rechtecks und [mm]y[/mm] seine Höhe:
Ansatz: Fläche des Rechtecks [mm] f(x,y) = xy = max! [/mm]
Jetzt muss man noch die Höhe [mm]y[/mm] in Abhängigkeit von [mm]x[/mm] schreiben, so bekommt man eine Funktion mit einer Veränderlichen, die leicht zu maximieren ist:
Wenn man das Rechteck in das Dreieck reinschreibt, liegt z. B. links von dem Rechteck ein Dreieck mit Grundlinie der Länge [mm]2-\bruch{x}{2}[/mm] und Höhe [mm]y[/mm].
Beachte nun: die Proportion der Grundlinie zu der Höhe bei diesem Dreieck ist gleich der Proportion der Grundlinie des "halben" ursprünglichen Dreiecks zu seiner Höhe (man "halbiere" das ursprüngliche Dreieck, indem man die Höhe zeichnet).
Es gilt also [mm]\bruch{2-\bruch{x}{2}}{y}=\bruch{2}{5}[/mm]. Umformen ergibt [mm]\bruch{5(4-x)}{4}=y[/mm].
Damit ist die Fläche des Rechtecks gegeben durch [mm] f(x,y) = xy =x\bruch{5(4-x)}{4}= max! [/mm]
Jetzt die Ableitung bilden, gleich Null setzen, etc. ergibt: [mm]x=2, y=\bruch{5}{2}, f(x)=5[/mm]
Fertig! Bitte schön!
Gruß
GerKill
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