Maximaler Flächeninhalt < Extremwertprobleme < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:47 Fr 05.06.2009 | | Autor: | Sebescen |
| Aufgabe | Ein Bauer will die Ecke einer Wiese einzäunen und hat dafür 200m Zaun. in dieser Ecke steht schon eine Hecke der Länge 80m, die mitbenutzt werden soll.
a) Welche Dimensionen muss der Zaun haben um die Fläche des eingezäunten Gebietes zu maximieren?
b) Kann man eine größere Fläche erreichen, wenn nicht die Gesamtlänge der Hecke einbezogen wird? |
Also die Zaunlänge muss ja a+2b+(a-80)=200 betragen. (a und b sind die Seitenlängen des Rechtecks).
Nur wie stelle ich jetzt eine Formel zur Berechnung der Fläche auf? a*b geht ja nicht, weil die Hecke mit einbezogen wird. Und wie komme ich dann auf den maximalen Flächeninhalt?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Ein Bauer will die Ecke einer Wiese einzäunen und hat dafür
> 200m Zaun. in dieser Ecke steht schon eine Hecke der Länge
> 80m, die mitbenutzt werden soll.
Hallo,
ich lasse jetzt meine ganze blühende Fantasie, sowie jegliche meiner reichlich vorhandenen Erfahrungen mit Hecken, Wiesen und Einzäunen außer Acht , krame meinen ganzen guten Willen zusamme und gehe davon aus, daß alles schön rechtwinklig ist und bleiben soll, und daß die Hecke nicht irgendwie wild in der Ecke umherwächst, sondern schnurgerade genau von der Ecke aus in der Richtung, in der man einzäunen möchte. Richtig?
> a) Welche Dimensionen muss der Zaun haben um die Fläche
> des eingezäunten Gebietes zu maximieren?
> Also die Zaunlänge muss ja a+2b+(a-80)=200 betragen. (a
> und b sind die Seitenlängen des Rechtecks).
Ja.
> Nur wie stelle ich jetzt eine Formel zur Berechnung der
> Fläche auf? a*b geht ja nicht, weil die Hecke mit
> einbezogen wird.
Nur, weil da 'ne Hecke wächst, ändern sich die Seitenlängen ja nicht. Der Grundstücksgröße ist es doch egal, ob eine Hecke oder ein Zaun drumherum ist.
Also ist F(a,b)=a*b.
Und die Fläche soll maximiert werden. Nun hast Du ein Problem, denn Du hast zwei Variablen...
Aber aufgrund des nur für 200 m reichenden Zaunmaterials kann man a und b nicht unabhängig voneinander wählen, sie sind durch die Nebenbedingung a+2b+(a-80)=200 voneinander abhängig.
Du kannst nun die Nebenbedingung nach b auflösen, das b in F(a,b) dadurch ersetzen und erhältst so Deine Zielfunktion, welche nur noch von a abhängt.
Mit dieser kannst Du nun in gewohnter Manier eine Extremwertberechnung durchführen.
Du wirst ein [mm] a_{max} [/mm] erhalten, gewinnst aus der Nebenbedingung das passende [mm] b_{max} [/mm] und kennst spätestens jetzt den maximalen Flächeninhalt.
Gruß v. Angela
Und wie komme ich dann auf den maximalen
> Flächeninhalt?
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> b) Kann man eine größere Fläche erreichen, wenn nicht die
> Gesamtlänge der Hecke einbezogen wird?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:10 Sa 06.06.2009 | | Autor: | ianolis |
Hallo,
der oben beschriebene Lösungsweg, bildet nicht ganz genau die Lösung ab die gefragt ist. Vorab eine kleine Skizze zum besseren Verständnis:
____________________________________
I
I
I
I
I
I
-------------------------___________
Hecke
Also so soll das Ganze aussehen 
Soll heißen, dass an der unter Seite sowohl die Hecke (gestrichelte Linie) also auch Zaun sein soll. Achja und oben, rechts und links soll natürlich auch Zaun sein. Der oben beschriebene Ansatz führt, glaube ich, eher zu einem Quadrat, was es laut Aufgabe aber nicht werden soll.
Könnte mir jemand vielleicht unter diesen Vorraussetzungen erklären, was die Haupt- bzw. Nebenbedingung ist??
Gruß!!
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Hallo,
Sebescens Nebenbedingung und die geschilderte Vorgehensweise beziehen sich genau auf die von Dir geschilderte Situation, die Aufgabe a), auf die vollständige Einbeziehung der Hecke.
Es gibt aber in der Tat ein Problem, und spätestens, wenn dies auftaucht, muß man sich mal Gedanken darüber machen, welchem Bereich die betrachteten a sinnigerweise entstammen: [mm] a\in [/mm] [80, 140]
Vielleicht schilderst Du mal, was Du gerechnet hast - ein Quadrat erhält man bei Aufgabe a) nämlich nicht - aber man kann etwas lernen. Stichwort: lokale/globale Extremwerte.
Die Nebenbedingung ist die Gleichung, die den Umfang beschreibt, die zu optimierende Zielfunktion die Funktion, die den Flächeninhalt liefert.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:21 Sa 06.06.2009 | | Autor: | ianolis |
F=a x b
U= 2a+b+(b-80)
200=a+2b+(a-80)
immer weiter aufgelöst bis dann
b= -a+140a
in F dann eingesetzt, f´(a)=-2a+140
und dann ist a=70, dann wäre aber auch b=70 und das passt ja alles nicht!
wo liegt dann der fehler?
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> F=a x b
> U= 2a+b+(b-80)
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> 200=a+2b+(a-80)
> immer weiter aufgelöst bis dann
> b= -a+140
> in F dann eingesetzt, f´(a)=-2a+140
> und dann ist a=70, dann wäre aber auch b=70 und das passt
> ja alles nicht!
>
> wo liegt dann der fehler?
Hallo,
er liegt an einer Stelle, die ich zuvor angedeutet hatte:
Man muß über den Definitionsbereich von F nachdenken.
Schaust Du Dir Deine Skizze an, so siehst Du, daß zur Situation (in Aufg. a) einfach keine a<80 passen, ebenso wie Du Dir überlegen kannst, daß a nicht größer als 140 sein kann.
Der von Dir errechnete Wert liegt also außerhalb des Definitionsbereiches, und Du weißt jetzt schon, daß Du innerhalb des Definitionsbereiches kein lokales Maximum finden wirst.
Ich weiß nun nicht, wieviel Du weißt. Hattet Ihr den Satz über Funktionen über abgeschlossenen Intervallen? In der Schule vielleicht eher nicht...
Folgendes kannst Du aber tun: schau Dir die Ableitung der Funktion an: innerhalb des Bereiches, den wir betrachten, also für [mm] a\in [/mm] [80,140] , ist die Ableitung negativ.
Wo also ist die Stelle, an welcher der Flächeninhalt maximal ist?
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:43 Sa 06.06.2009 | | Autor: | ianolis |
hm..ja genau das ist die frage;)
den satz kenne ich nicht!
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> hm..ja genau das ist die frage;)
> den satz kenne ich nicht!
Hallo,
Du mußt ihn auch nicht kennen, was zu tun und überlegen ist, habe ich Dir ja gesagt.
Der Satz sagt, daß stetige Funktionen über abgeschlossenen Intervallen ihr Minimum und Maximum annehmen, was einem garantiert, daß es ein Maximum gibt.
Wenn es nun nicht im Inneren des Intervalls liegt, muß es an den Rändern liegen.
Hast Du denn mal über die Negativität der Ableitung und darüber, was diese Dir sagt, nachgedacht?
Gruß v. Angela
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