Maximaler Flächeninhalt < Extremwertprobleme < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:28 Di 28.12.2004 | | Autor: | Rick |
Irgendwie scheine ich bei Extremwertaufgaben so meine Probleme zu haben, denn ich bräuchte nochmals eure Hilfe:
Es geht wieder mal um die Funktion $ f(x) = [mm] \bruch{x^2-4}{x^2+1} [/mm] $
Folgende Aufgabenstellung:
Die Punkte A(0/0), B (x/f(x)) und C (-x/f(-x)) (x>0) bilden ein Dreieck. Für welchen Wert von x ist der Flächeninhalt des Dreiecks ABC maximal?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:14 Di 28.12.2004 | | Autor: | Loddar |
Hallo Rick!
[mm]f(x) = \bruch{x^2-4}{x^2+1}[/mm]
> Folgende Aufgabenstellung:
> Die Punkte A(0/0), B (x/f(x)) und C (-x/f(-x)) (x>0)
> bilden ein Dreieck. Für welchen Wert von x ist der
> Flächeninhalt des Dreiecks ABC maximal?
Frage: Was ist denn gesucht?
Antwort: Der Flächeninhalt eines Dreieckes.
Zuerst einmal benötigen wir die entsprechende Formel:
$A = [mm] \bruch{1}{2}*g*h_g$
[/mm]
Nun müssen wir (sinnvolle) Werte für g und [mm] $h_g$ [/mm] einsetzen.
(1) g ist die Grundseite des Dreieckes:
Diese erhalten wir durch die beiden Punkte B und C.
(Am besten mal eine Skizze machen ...)
Die Länge dieser Grundseite beträgt: 2x.
(2) [mm] $h_g$ [/mm] ist die Höhe auf die Grundseite g:
Die Länge entspricht nun genau dem y-Wert von B bzw. C:
[mm] $h_g [/mm] = [mm] -f(x_B) [/mm] = [mm] -f(x_C) [/mm] = [mm] -\bruch{x^2-4}{x^2+1}$
[/mm]
Das Minuszeichen berücksichtigt, daß der Graph von f(x) im betrachteten Teil unterhalb der x-Achse liegt.
Setzen wir diese beiden Werte nun in unsere Flächenformel von oben ein, erhalten wir eine Funktion A, die nur noch von der gesuchten Größe x abhängig ist:
$A(x) = [mm] \bruch{1}{2}*g*h_g [/mm] = [mm] \bruch{1}{2} [/mm] * 2x * [mm] (-\bruch{x^2-4}{x^2+1})$
[/mm]
$A(x) = x * [mm] (-\bruch{x^2-4}{x^2+1}) [/mm] = [mm] \bruch{4x-x^3}{x^2+1}$
[/mm]
Für diese Funktion muß nun eine Extremwertberechnung durchgeführt werden (wie gehabt: ableiten usw.).
Kontrollergebnis: [mm] $x_{max} [/mm] = [mm] \wurzel{\bruch{\wurzel{65}-7}{2}} \approx [/mm] 0,729$
Nun alles klar ...
Grüße Loddar
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:45 Di 28.12.2004 | | Autor: | Rick |
Großartig, dankeschön! 
Ich hab mich aber auch selten dämlich angestellt. Eine Skizze hatte ich sogar vor mir.
Die Länge der Grundseite bekam ich noch selbst hin (2x).
Aber aus irgendeinem Grund kam ich nicht darauf (wohlgemerkt: obwohl es vor mir lag!!!), dass die Höhenlänge schlichtweg dem y-Wert der Funktion entspricht.
|
|
|
|
