Max. und Min. einer Menge < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:47 Di 22.04.2014 | | Autor: | bquadrat |
| Aufgabe 1 | | Zeigen Sie (beispielsweise mittels Induktion), dass jede enldiche Menge reeller Zahlen ein Maximum besitzt. |
| Aufgabe 2 | Sei J eine endliche Menge reeller Zahlen. Beweisen Sie, dass J ein Minimum hat und dass
min(J)=-max(-J)
gilt, wobei die Menge -J definiert ist als { [mm] -x|x\in [/mm] J } |
Ich finde gerade den ersten Aufgabenteil sehr verwirrend, weil in der Vorlesung gesagt wurde, dass nicht jede Menge ein Maximum oder ein Minimum besitzt. Z.B. die Menge M=[0;1[, welche kein Maximum, jedoch ein Supremum besitzt... Könnte mir bitte jemand helfen?
Dank im Voraus
[mm] b^{2}
[/mm]
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:06 Di 22.04.2014 | | Autor: | bquadrat |
Hallo 8 :) leider funktioniert die Verlinkung nicht :(
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:09 Di 22.04.2014 | | Autor: | DieAcht |
> Hallo 8 :) leider funktioniert die Verlinkung nicht :(
Tut mir leid. Ich habe es nun editiert.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:16 Di 22.04.2014 | | Autor: | bquadrat |
ahh danke :) also kann ich dass so interpretieren, dass eine ENDLICHE Menge immer die Form [a,b] besitzt, bzw. { [mm] x\in\IR|a\le x\le [/mm] b }?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:28 Di 22.04.2014 | | Autor: | DieAcht |
> ahh danke :) also kann ich dass so interpretieren, dass
> eine ENDLICHE Menge immer die Form [a,b] besitzt, bzw.
> [mm]x\in\IR|a\le x\le[/mm] b ?
Nein. ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Das Intervall [mm] $[a,b]\$ [/mm] ist definiert als
[mm] [a,b]:=\{x\in\IR\mid a\le x\le b\}.
[/mm]
Eine endliche Menge [mm] $E\$ [/mm] besitzt endlich viele Elemente.
Vielleicht dazu noch folgendes Beispiel:
[mm] E:=\{\pi,-1,e\}. [/mm]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:31 Di 22.04.2014 | | Autor: | bquadrat |
Aaaahhh gut ok das habe ich jetzt verstanden :) ich versuch mich jetzt nochmal dran und schreibe dann nochmal, wenn ich nicht weiterkommen sollte :) dankeschön :)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:09 Di 22.04.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Aaaahhh gut ok das habe ich jetzt verstanden :) ich versuch
> mich jetzt nochmal dran und schreibe dann nochmal, wenn ich
> nicht weiterkommen sollte :) dankeschön :)
aber doch nochmal zur Sicherheit:
Eine Menge heißt "endlich", wenn sie nur endlich viele Elemente innehat. So
ist bspw. für festes $n [mm] \in \IN$ [/mm] die Menge
[mm] $\{1,...,n\}$
[/mm]
endlich, aber
$[0,1]$
ist unendlich: Man kann sich leicht klarmachen, dass Obermengen unendlicher
Mengen unendlich sind, und es ist schon
$[0,1] [mm] \cap \IQ$
[/mm]
eine unendliche Menge, weil die offensichtlich unendliche Menge
[mm] $\{1/n:\;\; n \in \IN\}$
[/mm]
Teilmenge von $[0,1] [mm] \cap \IQ$ [/mm] ist.
Noch ein Hinweis zu Deiner Aufgabe:
Im ersten Aufgabenteil sollst Du ja zeigen, dass jede endliche Menge reeller
Zahlen ein Maximum hat.
Im zweiten Aufgabenteil benötigst Du auch, dass jede endliche Menge
reeller Zahlen ein Minimum hat - dazu folgender Tipp:
Sei nun $J [mm] \subseteq \IR$ [/mm] eine endliche Menge reeller Zahlen (das bedeutet,
dass es ein (minimales) [mm] $n_0 \in \IN$ [/mm] so gibt, dass es eine surjektive (bijektive)
Abbildung
$f [mm] \colon \{1,...,n_0\} \to [/mm] J$ [mm] ($\subseteq \IR$)
[/mm]
gibt).
Seien die Elemente von [mm] $J\,$ [/mm] (ohne Wiederholungen) durchnummeriert:
[mm] $J=\{j_1,...,j_{n_0}\}\,.$
[/mm]
Betrachte nun die Menge
[mm] $J^{-}:=-J:=\{-j:\;\; j \in J\}=\{-j_1,\ldots,-j_{n_0}\}\,.$
[/mm]
Nach dem ersten Aufgabenteil hat dann [mm] $J^{-}$ [/mm] ein Maximum. Schreibe Dir
genau auf, was das bedeutet und schließe - aus dem Wissen, dass [mm] $J^{-}$
[/mm]
ein Maximum hat - dann, dass [mm] $J\,$ [/mm] ein Minimum haben muss. Die Zusatzbehauptung
ergibt sich aus obigem dann sofort!
P.S. Hinweis:
Mit einer bijektiven Abbildung
[mm] $\varphi \colon \{1,...,n_0\} \to \{1,...,n_0\}$
[/mm]
kannst Du die Elemente von [mm] $J\,$ [/mm] (bzw. [mm] $J^{-}$) [/mm] "geeignet umnummerieren"!
Üblich ist dann auch die Notation
[mm] $\varphi_k:=\varphi(k)$ [/mm] ($k [mm] \in \{1,...,n_0\}$).
[/mm]
Soll heißen:
[mm] $-\,j_{\varphi_1}$ $\text{?}$ $\ldots$ $\text{?}$ $-\,j_{\varphi_{n_0}}$
[/mm]
könnte eine schöne Zeile werden, nachdem die Elemente (geeignet)
umnummeriert worden sind - wobei natürlich das Fragezeichen durch
ein anderes Symbol ersetzt werden sollte!
Gruß,
Marcel
|
|
|
|
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
