Max. Zylinder in Halbkugel < Extremwertprobleme < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:47 Fr 18.05.2012 | | Autor: | greenhue |
| Aufgabe | Einer Halbkugel vom Radius 6cm ist der Zylinder mit maximaler Mantelfläche einzubeschreiben. Wie hoch ist dieser Zylinder?
Lösung im Buch: Zylinder mit Achse senkrecht zur Kreisfläche: h=r=3*Wurzel(2)cm, Mantelfläche 36pi [mm] cm^2
[/mm]
Zylinder mit Achse parallel zur Kreisfläche: h=6*Wurzel(2)cm, r=1.5*Wurzel(2)cm, Mantelfläche 36pi [mm] cm^2 [/mm] |
Hi
Also, soweit bin ich gekommen:
Volumen Halbkreis: [mm] ((4/3pi*r^3)/3)/2 [/mm] r=6cm --> V=144pi
Mantelfläche Zylinder: 2pi*R*h
Hauptbedingung: M(h)=2pi*R*h im Intervall [0;144pi]
Nebenbedingung: -> Nach Pythagoras [mm] R^2+h^2=r^2=36
[/mm]
-> Nach R auflösen [mm] R=Wurzel(36-h^2)
[/mm]
Und hier steck ich fest. Ich weiss, dass [mm] a^2+b^2=c^2 [/mm] nicht das selbe ist wie a+b=c. Und jetzt weiss ich nicht, wie ich die Wurzel auflösen soll, damit ich sie nacher in der Zielfunktion ableiten kann.
Zielfunktion: [mm] M(h)=2pi*Wurzel(36-h^2)*h
[/mm]
Vielen Dank für eure Hilfe!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo und
![[willkommenvh]](/images/smileys/willkommenvh.png "[willkommenvh]")
Du bist schon sehr weit gekommen, es ist bis dahin alles richtig, jetzt nicht verzweifeln: die Wurzel kann man nicht auflösen, du musst die Zielfunktion so wie sie ist ableiten. Das einzige, was du noch tun könntest, ist folgender Trick:
ziehe das hintere h als Faktor in die Wurzel hinein (aber beachte, dass du da mit h noch etwas tun musst!). Nutze dann die Tatsache aus, dass die Wurzelfunktion streng monoton ist. So eine Wurzel hat nämlich genau aus diesem Grund genau dort ihr Maximum, wo ihr Inhalt ebenfalls ein Maximum besitzt. Und der Inhalt ist ganzrational...
Gruß, Diophant
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:24 Fr 18.05.2012 | | Autor: | fred97 |
Bedenke: M(h) ist maximal [mm] \gdw M(h)^2 [/mm] ist maximal.
Maximiere also die Funktion
[mm] $F(h)=M(h)^2= [/mm] 4 [mm] \pi^2(36-h^2)h^2$
[/mm]
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:31 Fr 18.05.2012 | | Autor: | Diophant |
Hallo FRED,
ja, deine Begründung ist besser. Ich habe mal wieder viel zu kompliziert gedacht. 
Gruß, Diophant
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:04 Fr 18.05.2012 | | Autor: | greenhue |
Vielen Dank euch beiden, Rechnung aufgegangen!
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