Max. Flächeninhalt 2 Parabeln < Extremwertprobleme < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:18 Di 15.08.2006 | | Autor: | henno18 |
Hallo,
ich habe eine Frage und zwar komm ich nicht mehr weiter !
Ich habe 2 Parabeln 4-tx² t>0 und 0.5x²-2
Und zwischen diesen beiden soll ein möglichst grosser Flächeninhalt festgelegt werden. Ich bin soweit das die 1. Bedinungn A= x * y ist !
Desweitern weiss ich auch das x = 2 x sein muss, da es auf beide seite geht .. aber ich kommt nicht auf das y !
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:35 Di 15.08.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo henno,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !!
> Ich habe 2 Parabeln 4-tx² t>0 und 0.5x²-2
>
> Und zwischen diesen beiden soll ein möglichst grosser
> Flächeninhalt festgelegt werden. Ich bin soweit das die 1.
> Bedinungn A= x * y ist !
Ich nehme mal an, hier ist gemeint, ein möglichst großes eingeschriebenes Rechteck zwischen diesen beiden Parabeln, oder?
Schreibe auch lieber, um Verwechslungen zu vermeiden: $A \ = \ a*b$ .
> Desweitern weiss ich auch das x = 2 x sein muss, da es auf
> beide seite geht ..
Richtig, aber nach meiner Benennung also: $a \ = \ 2*x$ .
> aber ich kommt nicht auf das y !
Das wird am besten klar, wenn man sich eine Skizze macht. Da sieht man dann auch, dass die Höhe $b_$ des Rechteckes genau der Differenz zwischen den beiden Parabeln [mm] $f_1(x) [/mm] \ = \ [mm] 4-t*x^2$ [/mm] und [mm] $f_2(x) [/mm] \ = \ [mm] 0.5*x^2-2$ [/mm] entspricht:
$b \ = \ [mm] f_1(x)-f_2(x) [/mm] \ = \ [mm] 4-t*x^2-\left(0.5*x^2-2\right) [/mm] \ = \ ...$
Kannst Du nun die Zielfunktion aufstellen und damit die Extremwertberechnung durchführen?
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:54 Di 15.08.2006 | | Autor: | henno18 |
Wäre die Zielfunktion also,
A = 2x * 4-tx²-(0.5x²-2)
dann habe ich ja
A = 4x - 2tx³ - x³ - 4x
A = 3 tx³ richtig?
was mach ich dann? ableitung?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:25 Di 15.08.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo henno!
![[aufgemerkt]](/images/smileys/aufgemerkt.gif "[aufgemerkt]") Ganz wichtig: Klammern setzen!
Damit wird:
$A(x) \ = \ [mm] 2x*\red{\left[}4-t*x^2-\left(0.5*x^2-2\right)\red{\right]} [/mm] \ = \ [mm] 2x*\red{\left[}4-t*x^2-0.5*x^2+2\red{\right]} [/mm] \ = \ [mm] 2x*\red{\left(}6-t*x^2-0.5*x^2\red{\right)} [/mm] \ = \ [mm] 12*x-2t*x^3-x^3$
[/mm]
Für die Extremwerte nun die ersten beiden Ableitungen bestimmen und anschließend die Nullstellen der ersten Ableitung $A'(x)_$ .
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:57 Di 15.08.2006 | | Autor: | henno18 |
ok dann bin ich .. bei F´(x) = 12-6tx²-3x² ...
reicht die Nullstelle in abhöngigkeit von t ?
bzw. wie siehst die nullstelle jez aus?
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Nun, da die eine Parabel ja von t abhängig ist, wird auch deine Nullstelle von t abhängig sein.
Wenn du aus den letzten beiden Summanden das x² ausklammerst, ist das ja kein Problem mehr:
$0 = [mm] 12-(6t+3)x^2$
[/mm]
[mm] $x=\pm\wurzel{\bruch{12}{6t+3}}$
[/mm]
Für ein gegebenes t gibt dir das also die halbe Breite der Rechtecks.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:10 Mi 16.08.2006 | | Autor: | henno18 |
da blick ich irgendwie net durch ..
ist das jez die lösung für x ??
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:13 Mi 16.08.2006 | | Autor: | Loddar |
Guten Morgen henno!
Das ist eine mögliche Lösung für x! Ob es sich hierbei auch um ein Maximum handelt, musst Du kontrollieren, indem Du diesen Wert für [mm] $x_e$ [/mm] in die 2. Ableitung $A''(x)_$ einsetzt.
Für ein Maximum muss dann gelten: [mm] $A''(x_e) [/mm] \ [mm] \red{<} [/mm] \ 0$
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:25 Mi 16.08.2006 | | Autor: | henno18 |
das hab ich gemacht und weiss nu das 0<t<0.5,
da f"(x)=-12tx-6x
und um den y wert zu bekommen muss ich doch x nur einsetzen richtig ?
Und last but not least ;) ... kann ich t bestimmen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:02 Mi 16.08.2006 | | Autor: | ardik |
Hallo Henno,
wie kommst Du auf t<0,5??
Erinnerst Du Dich, wie Du bei einer Kurvendiskussion überprüfst, ob ein Extremum ein Minimum oder Maximum darstellt?
Hier hast Du einen x-Wert erhalten, für den die Rechteckfläche ein Extremum wird.
Wenn Du nun diesen (positiven) x-Wert in $f''$ einsetzt, so erhältst Du in diesem Fall grundsätzlich ein negatives Ergebnis, wegen der beiden "Minüsse". Der Vorfaktor $t$ ist ja aus der Aufgabenstellung heraus selbst positiv.
Und wenn die zweite Ableitung negativ ist, so ist das untersuchte Extremum ein Maximum.
Du fragst nach einem y-Wert... Was für einen meinst Du? 
Verlier vor lauter Funktionen nicht die Aufgabenstellung aus dem Kopf!
Du hast zwei Ausgangsfunktionen und Du hast die Flächeninhaltsfunktion $A(x)$ für das Rechteck.
Dein x-Ergebnis sagt Dir, wie weit rechts die rechten Ecken des (größtmöglichen) Rechtecks liegen (bzw. links für das negative Ergebnis).
Wenn Du dieses x in $A(x)$ einsetzt, so erhältst Du als "y-Wert" den Flächeninhalt dieses Rechteckes.
Wenn Du dieses x in die Ausgangsfunktionen einsetzt, so erhältst Du als y-Werte jeweils die y-Koordinaten der (rechten) Ecken, die ja auf den beiden Graphen liegen.
Vor allem aber möchtest Du auch wissen (solltest Du wissen wollen ), wie hoch dies (größtmögliche) Rechteck ist: Das ist natürlich wieder die Differenz dieser beiden y-Werte, wie ja schon die Überlegung zum ersten Ansatz ergab.
t kannst Du eigentlich nicht bestimmen, nicht im Rahmen dieser Aufgabenstellung. Das ist ja als Parameter zu einer der beiden Ausgangsfunktionen gegeben und lässt somit ihr endgültiges Aussehen ausdrücklich offen.
Wenn man t verändert, ändert sich das Aussehen des Graphen. Da t ausdrücklich positiv sein soll und in der Funktionsgleichung ein Minus davor steht, ist die Parabel nach unten geöffnet. Aber je nach dem Zahlenwert von t ist sie eng oder weit. Damit verändert sich natürlich auch das Aussehen des hineinzubastelnden Rechteckes und daher bleibt das t bis in alle Ergebnisse hinein erhalten.
Sowie man sich (willkürlich) für ein bestimmtes t festlegt, hat man auch alles andere festgelegt und bekommt dann ein eindeutiges Ergebnis für das Rechteck etc.
So, ich hoffe, ich habe Dich mit dieser Ausführlichkeit jetzt nicht gelangweilt...
Schöne Grüße,
ardik
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