Matrizenberechnung bei Videos < Prozesse+Matrizen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Eine Videokette besitzt in einer Stadt drei Filialen: A, B, C. Die Filme werden nach einem vom Besitzer als optimal eingeschätzten Verfahren am Ende des Monats rotiert: Zum Monatswechsel wechseln 10% der Filme von A zu B und 5% der Filme zu C. 15% der Filme bei B werden zu A gesandt und 10% zu C. Filiale C sendet je 5% der Filme zu A und C.
a) Zeichnen Sie einen Übergangsgraphen und bestimmen Sie eine Übergangsmatrix dieses Prozesses.
b) Geben Sie die Verteilung der Filme für den folgenden Monat an, wenn es 400 Filme in Filiale A, 360 in Filiale B und 500 in Filiale C gibt.
c) Berechnen Sie jeweils den prozentualen Anteil der Filme, die innerhalb von zwei Monaten von A und B zu Filiale C gesendet werden.
d) Bestimmen Sie die prozentuale Verteilung der Filme, die sich langfristig einstellen wird.
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt! |
Hallo an alle!!
Ich wäre euch echt dankbar, wenn ihr einmal meine Lösung nachschauen könntet!!!
Danke im voraus!
a) Matrix M=
[mm] \begin{pmatrix}
0,85 & 0,1 & 0,05 \\
0,15 & 0,75 & 0,1 \\
0,05 & 0,05 & 0,9
\end{pmatrix} [/mm]
(Den Graphen kann ich momentan nicht einscannen, aber ich bin mir sicher, dass er richtig ist.)
b) Vektor v= [mm] \begin{pmatrix} 400 \\ 360 \\ 500 \end{pmatrix}
[/mm]
M*Vektor v= [mm] \begin{pmatrix} 401 \\ 380 \\ 488 \end{pmatrix}
[/mm]
c)zwei Monate, also [mm] M^2=
[/mm]
[mm] \begin{pmatrix}
0,74 & 0,1625 & 0,0975 \\
0,245 & 0,5825 & 0,1725 \\
0,095 & 0,0875 & 0,8175
\end{pmatrix} [/mm]
Prozentualer Anteil:
0,0975+0,1725=0,27
Also: 27%
d)hier habe ich ein kleines Problem und zwar:
1) muss ich [mm] M^n [/mm] oder [mm] M*Vektorv^n [/mm] rechnen?
2) Wie erechne ich das dann?
Danke!
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:59 Mi 11.02.2009 | | Autor: | Teufel |
Hallo!
Du musst deine Übergangsmatrix noch transponieren, dann ist sie richtig.
Ich nehme auch an, dass es "Filiale C sendet je 5% der Filme zu A und B." heißen sollte. :)
Transponieren heißt: Die 1. Zeile muss die 1. Spalte sein, die 2. Zeile die 2. Spalte und die 3. Zeile die 3. Spalte.
[mm] M=\pmat{ 0,85 & 0,15 & 0,05 \\ 0,1 & 0,75 & 0,05 \\ 0,05 & 0,1 & 0,9 }
[/mm]
In der 1. Zeile komt immer alles hin, was zu A geht. Also A->A, B->A und C->A (in der Reihenfolge). In der 2. dann alles, was zu B geht und in der 3. was zu C geht.
Demnach musst du b) und c) nochmal rechnen.
Und für d):
Entweder du bräuchtest [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}M^n [/mm] (und das willst du nicht!) oder du gehst so ran:
Wenn man von ausgeht, dass die Verteilung irgendwann stabil ist, dann ändert sich also nichts mehr, wenn man den Vektor mit der Matrix multipliziert.
[mm] M*\vec{v}=\vec{v} [/mm] gilt also, die Verteilung wäre dann stabil.
Wenn du [mm] \vec{v}=\vektor{a\\b\\c} [/mm] setzt, kannst du das entstehende Gleichungssystem lösen und erhälst so deine stabile Verteilung.
![[anon]](/images/smileys/anon.png "[anon]") Teufel
|
|
|
| |
|
Hallo!
Danke für deine Hilfe. Komme jetzt klar. ;) *juhu*
Ich habe es soweit verstanden, aber eine Farge bleibt mir dennoch:
Du meintest ich müsse die Matrix M noch transponieren? Aber ist das nicht egal wie sie steht? Ich meinte, dass die erste Spalt "zu A" bedeutet!
Tschüss und danke!
PS: Bei der Aufgabenstellung war von C zu A und B jeweils 5% .
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:56 Mi 11.02.2009 | | Autor: | Teufel |
Hi nochmal!
Nein, die "Richtung" ist sehr wichtig. Man bekommt bei beiden Sachen etwas anderes raus.
Teufel
|
|
|
| |
|
Hi nochmal
Und wie erkenne ich dann in welcher Reihenfolge ich das machen muss?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:26 Mi 11.02.2009 | | Autor: | Teufel |
[mm] M=\pmat{ A->A & B->A & C->A \\ A->B & B->B & C->B \\ A->C & B->C & C->C}
[/mm]
Kannst du dir merken, wenn du dich daran erinnerst, wie du dann die Matrix mit dem Vektor multiplizieren musst. Um die 1. Komponente des neuen Vektors raus zu bekommen, musst du ja mit der obersten Zeile der Matrix rechnen. Und da die 1. Komponente des neuen Vektors eben die Stückzahl von A ist, muss die 1. Zeile der Matrix ja etwas damit zu tun haben, dass etwas zu A geht.
Teufel
|
|
|
|
