Matrizen vertauschbar? < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Zwei quadratische Matrizen A und B heißen vertauschbar, wenn A*B = B*A gilt. Bestimmen Sie die allgemeine Form aller Matrizen A, die mit der Matrix
B = [mm] \pmat{ 1 & 0 \\ 1 & 2 } [/mm] vertauschbar sind. |
Hey Leute,
ich habe zu dieser Aufgabenstellung überhaupt keine Idee. Soeben noch rausgefunden, dass Matrizen die Mehrzahl von Matrix ist 
Vielen Dank für Eure Hilfe
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> Zwei quadratische Matrizen A und B heißen vertauschbar,
> wenn A*B = B*A gilt. Bestimmen Sie die allgemeine Form
> aller Matrizen A, die mit der Matrix
>
> B = [mm]\pmat{ 1 & 0 \\ 1 & 2 }[/mm] vertauschbar sind.
> Hey Leute,
>
> ich habe zu dieser Aufgabenstellung überhaupt keine Idee.
> Soeben noch rausgefunden, dass Matrizen die Mehrzahl von
> Matrix ist
Hallo,
na, das macht mich schonmal ziemlich so glücklich, daß ich richtig große Lust habe, Dir zu helfen!
Tue dies:
Sei A:= [mm] \pmat{a&b\\c&d}.
[/mm]
Und nun schau, welche Infos Du [mm] \pmat{ 1 & 0 \\ 1 & 2 }*\pmat{a&b\\c&d}= \pmat{a&b\\c&d}*\pmat{ 1 & 0 \\ 1 & 2 }
[/mm]
entnehmen kannst.
LG Angela
> Vielen Dank für Eure Hilfe
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Also ganz ehrlich, du faszinierst mich mit deinem mathematischen Wissen
Wenn ich die Matrixmultiplikation richtig ausgeführt habe, bekomme ich als Ergebnis:
[mm] \pmat{ 1a & 0c \\ 1b & 2d } [/mm] = [mm] \pmat{ a1 & b1 \\ c0 & d2 }
[/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:10 Mo 12.01.2015 | | Autor: | chrisno |
> Also ganz ehrlich, du faszinierst mich mit deinem
> mathematischen Wissen
Das ist nett, ein Kompliment für Angela ist immer angebracht.
>
> Wenn ich die Matrixmultiplikation richtig ausgeführt habe,
hast Du aber nicht
> bekomme ich als Ergebnis:
>
> [mm]\pmat{ 1a & 0c \\ 1b & 2d }[/mm] = [mm]\pmat{ a1 & b1 \\ c0 & d2 }[/mm]
"Zeile mal Spalte" da müssen öfters mal Summen in den Ergebnismatritzen auftauchen.
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So, jetzt sollte es passen, sonst erklärt mir YouTube einen Mist
[mm] \pmat{ 1a+0c & 1b+0d \\ 1a+2c & 1b+2d } [/mm] = [mm] \pmat{ a1+b1 & a0+b2 \\ c1+d1 & c0+d2 }
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:38 Mo 12.01.2015 | | Autor: | chrisno |
> So, jetzt sollte es passen, sonst erklärt mir YouTube
> einen Mist
>
> [mm]\pmat{ 1a+0c & 1b+0d \\ 1a+2c & 1b+2d }[/mm] = [mm]\pmat{ a1+b1 & a0+b2 \\ c1+d1 & c0+d2 }[/mm]
>
Etwas merkwürdig aufgeschrieben. Ich räume auf:
[mm]\pmat{ a & b \\ a+2c & b+2d }[/mm] = [mm]\pmat{ a+b & 2b \\ c+d & 2d }[/mm]
Diese beiden Matrizen sollen gleich sein. Daraus folgen vier Gleichungen.
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Wären die Gleichungen:
a = a+b
b = 2b
a+2c = c+d
b+2d = 2d
??
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:56 Mo 12.01.2015 | | Autor: | chrisno |
> Wären die Gleichungen:
>
> a = a+b
> b = 2b
> b+2d = 2d
Aus den dreien folgt das Gleiche, nämlich ....
> a+2c = c+d
Die lässt sich noch etwas hübscher schreiben und dann hast Du es.
Für mich ist für Heute Schluss.
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Danke crisno für die Hilfe bis hierhin.
Aber die Aussage, dass die ersten drei das Gleiche wie die 4. Gleichung ergeben, kann ich so nicht nachvollziehen?
Wenn ich das am Ende noch ausrechne, habe ich a+c = d
Wie schreibe ich dann aber die allgemeine Matrix auf?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:18 Mo 12.01.2015 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Danke crisno für die Hilfe bis hierhin.
>
> Aber die Aussage, dass die ersten drei das Gleiche wie die
> 4. Gleichung ergeben, kann ich so nicht nachvollziehen?
Das war etwas unglücklich formuliert. chrisno wollte nicht sagen, dass alle vier Gleichungen das gleiche ergeben, sondern dass die oben aufgelisteten drei Gleichungen jeweils das gleiche liefern (und er hat dich gefragt was das sein könnte). Die vierte Gleichung ist davon unabhängig.
> Wenn ich das am Ende noch ausrechne, habe ich a+c = d
Genau. Also kannst du $d$ aus der Matrix rauswerfen und durch $a+c$ ersetzen.
Mit den anderen Gleichungen kannst du die Matrix noch etwas einfacher machen.
LG Felix
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Dann hätte ich jetzt:
a = a+b
b = 2b
b+2a+2c = 2a + 2c
??
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:13 Di 13.01.2015 | | Autor: | DieAcht |
Hallo Michi4590!
Aus [mm] $a=a+b\$ [/mm] folgt [mm] $b=0\$. [/mm] Aus [mm] $b=2b\$ [/mm] folgt [mm] $b=0\$. [/mm] Aus $b+2d=2d$ folgt [mm] $b=0\$.
[/mm]
Demnach folgt aus jeder drei Gleichungen stets [mm] $b=0\$ [/mm] (Jetzt klar?).
Was folgt nun aus der vierten Gleichung [mm] $a+2c=c+d\$?
[/mm]
Gruß
DieAcht
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Die 4. Gleichung lautet ja:
a + 2c = c+d
also -c:
a +c = d
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:58 Di 13.01.2015 | | Autor: | fred97 |
> Die 4. Gleichung lautet ja:
>
> a + 2c = c+d
> also -c:
> a +c = d
Ja
FRED
>
>
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Alles klar, dankeschön. Aber jetzt muss ich das doch bestimmt noch in eine Matrix schreiben, oder?
[mm] \pmat{ 0& 0 \\ 0 & a+c=d }
[/mm]
???
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> Alles klar, dankeschön. Aber jetzt muss ich das doch
> bestimmt noch in eine Matrix schreiben, oder?
Hallo,
ja.
Aber Du sollst nicht irgendetwas in die Matrix schreiben, wozu Du gerade Lust hast, sondern das, was Du ausgerechnet hast.
Du hattest berechnest, daß die Matrix [mm] A:=\pmat{a&b\\c&d} [/mm] mit
b=0 und a+c=d
all das tut, was sie tun soll.
>
> [mm]\pmat{ 0& 0 \\ 0 & a+c=d }[/mm]
Darauf, daß zwingend a=c=0 sein muß, gab es im Verlauf der Rechnung keinen Hinweis, oder?
Also lautet das Ergebnis:
Die Matrizen mit der geforderten Eigenschaft haben die Gestalt [mm] A=\pmat{a&0\\c&a+c}.
[/mm]
LG Angela
>
>
> ???
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Darauf, daß zwingend a=c=0 sein muß, gab es im Verlauf der Rechnung keinen Hinweis, oder?
Das sehe ich hier zum ersten Mal.
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> > Darauf, daß zwingend a=c=0 sein muß, gab es im Verlauf
> der Rechnung keinen Hinweis, oder?
>
>
> Das sehe ich hier zum ersten Mal.
- und trotzdem hattest Du es so in Deine Matrix eingetragen, was natürlich falsch war.
LG Angela
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Jetzt weiß ich leider immer noch nicht, wie du auf:
Die Matrizen mit der geforderten Eigenschaft haben die Gestalt [mm] A=\pmat{a&0\\c&a+c} [/mm] kommst?
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> Jetzt weiß ich leider immer noch nicht, wie du auf:
>
> Die Matrizen mit der geforderten Eigenschaft haben die
> Gestalt [mm]A=\pmat{a&0\\c&a+c}[/mm] kommst?
Hallo,
Du hattest doch aus der Forderung AB=BA mit [mm] A:=\pmat{a&b\\c&d} [/mm] Gleichungen gefunden,
aus denen Du am Ende bekamst
b=0
und d=a+c.
Genau diese Infos habe ich in die Matrix A nun eingesetzt und weiß:
alle Matrizen, die so gemacht sind, tun, was sie tun sollen.
Beispiele für Matrizen, die mit B vertauschbar sind, wären also etwa [mm] \pmat{1&0\\2&3}, \pmat{-5&0\\5&0}, \pmat{17&0\\3&20} [/mm] , [mm] \pmat{0&0\\1&1} [/mm] uvm.
LG Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:33 Di 13.01.2015 | | Autor: | Michi4590 |
Jetzt habe ich es gecheckt, vielen, vielen Dank
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