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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:20 Mi 07.12.2005 | | Autor: | dauwer |
Hallo!
Ich habe folgende Aufgabe ze bearbeiten. Ich habe den ersten Teil gelöst, weiss aber nicht so recht wie ich den zweiten Teil lösen soll.
Zeigen Sie, dass die Menge [mm] $$G=\{\pmat{x&0 \\ y&x}| x\in \IR\backslash\{0\}, y \in \IR\} \subset [/mm] Mat(2 [mm] \times [/mm] 2, [mm] \IR)$$ [/mm] von Matrizen mit der Multiplikation von Matrizen als Verknüpfung eine Gruppe bildet.
Prüfen Sie, ob die Menge [mm] $$H=\{\pmat{1&0\\y&1}| y \in \IR\}$$ [/mm] mit derselben verknüpfung eine normale Untergruppe der Gruppe $$(G,^{.})$$ ist.
Assoziativität habe ich gezeigt und ein neutrales und ein inverses Element habe ich auch gefunden.
neutrales Element: [mm] $e=\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 }$
[/mm]
inverses Element: [mm] $x'=\pmat{ \bruch{1}{x} & 0 \\ -\bruch{y}{x^{2}} & \bruch{1}{x} }$
[/mm]
Nun habe ich noch zu zeigen, dass $(H,^{.})$ eine normale Untergruppe von $(G,^{.})$ ist. Bloß weiss ich nicht wie ich das anstellen soll.
Danke für eure Hilfe,
Grüsse, Marc
(Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt)
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Hallo,
naja du musst zunächst zeigen, dass das eine Untergruppe ist. Das ist nicht schwer, ich würde das mit dem Untergruppenkriterium machen. Nimm dir zwei Matrizen aus H und zeige, dass diese nach Multiplikation wieder in H liegen. Einfach durchführen!
Nun wendest du noch das Normalteilerkriterium an und bist fertig! Zeige, dass für alle a aus G und b aus H gilt:
[mm] aba^{-1}\in [/mm] H (oder ab=ba ist äquivalent dazu)
Multiplikation und Inversenbildung durchführen und sehen, was rauskommt!
Viele Grüße
Daniel
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