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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:01 Sa 28.11.2009 | | Autor: | blackylk |
| Aufgabe | 26)Sei [mm] A=\pmat{ 1 & 3 \\ 2 & 5 \\ 1 & 1 }
[/mm]
Gibt es Matrizen B oder C, so dass BA = [mm] E_2 [/mm] bzw [mm] CA=E_3 [/mm] ist?
Bestimmen Sie gegebenfalls alle solche Matrizen.
Aufgabe 25)
Sei [mm] A=\pmat{ sin t *cos t & sin^2 t & cos^2 t\\ sin t* cos t & cos^2 t & 0 \\ sin t & cos t & -sin t *cos t } [/mm] für welche [mm] t\in [/mm] R ist A nicht invertierbar. |
zu A26)Ich nehme an [mm] E_2 [/mm] ist ist eine 2x2 Einheitsmatrix und [mm] E_3 [/mm] ist eine 3x3 Einheitsmatrix. Soweit so gut. Aber jetzt kommen meine Probleme.
Wenn A eine quadratische Matrix wäre, dann wäre das kein Problem. Die Inverse bilden und gut ist. Aber wie gehe ich hier vor?
[mm] A*B=E_2 [/mm] Ich kann ja nicht durch die B Matrix teilen [mm] E_2/B=A [/mm] => Error
[mm] A^T*E_2 [/mm] bringt mich ja auch nicht weiter.
zu A25)
Ich würde sagen für alle t=[0,k*pi] und für alle t=[(1/2)pi+k] wobei [mm] k\in [/mm] Z
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> 26)Sei [mm]A=\pmat{ 1 & 3 \\ 2 & 5 \\ 1 & 1 }[/mm]
>
> Gibt es Matrizen B oder C, so dass BA = [mm]E_2[/mm] bzw [mm]CA=E_3[/mm]
> ist?
>
> Bestimmen Sie gegebenenfalls alle solche Matrizen.
> Aufgabe 25)
> Sei [mm]A=\pmat{ sin t *cos t & sin^2 t & cos^2 t\\ sin t* cos t & cos^2 t & 0 \\ sin t & cos t & -sin t *cos t }[/mm]
> für welche [mm]t\in[/mm] R ist A nicht invertierbar.
> zu A26)Ich nehme an [mm]E_2[/mm] ist ist eine 2x2 Einheitsmatrix
> und [mm]E_3[/mm] ist eine 3x3 Einheitsmatrix. Soweit so gut. Aber
> jetzt kommen meine Probleme.
> Wenn A eine quadratische Matrix wäre, dann wäre das kein
> Problem. Die Inverse bilden und gut ist. Aber wie gehe ich
> hier vor?
>
> [mm]A*B=E_2[/mm] Ich kann ja nicht durch die B Matrix teilen
> [mm]E_2/B=A[/mm] => Error
> [mm]A^T*E_2[/mm] bringt mich ja auch nicht weiter.
Mach dir zuerst klar, welches Format (Zeilenanzahl, Spaltenzahl)
eine solche Matrix B oder C haben müsste, damit man das
Produkt B*A bzw. C*A bilden kann und die resultierende
Matrix das Format [mm] 2\times{2} [/mm] bzw. [mm] 3\times{3} [/mm] hat.
Setze dann für alle Elemente von B bzw. C Variablen.
So kommt man auf ein (möglicherweise unterbestimmtes)
Gleichungssystem.
> zu A25)
> Ich würde sagen für alle t=[0,k*pi] und für alle
> t=[(1/2)pi+k] wobei [mm]k\in[/mm] Z ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
einfach so geraten ?
es ist sicher eine Herleitung verlangt ...
Für k=1 ist z.B. [mm] t=(1/2)pi+k\approx2.571\approx147.3^{\circ}
[/mm]
LG Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:46 Sa 28.11.2009 | | Autor: | blackylk |
>
> einfach so geraten ?
> es ist sicher eine Herleitung verlangt ...
> Für k=1 ist z.B.
> [mm]t=(1/2)pi+k\approx2.571\approx147.3^{\circ}[/mm]
>
>
> LG Al-Chw.
>
Ich hab einfach rum probiert. sin wird ja immer für 0, pi und ein vielfaches von pi null. das selbe gilt auch für negative k.
dann bekomm ich eine matrix , indem alles wo ein sin stand zu 0 wird.
$ [mm] A=\pmat{ 0 & 0 & cos^2 t \\ 0 & cos^2 t & 0 \\ 0 & cos t &0 } [/mm] $
Eine ganze Spalte wird Null die Matrix ist nicht mehr quadratisch.
Und wenn ich für Cos pi/2 einsetze oder ein Vielfaches davon, dann wird sogar eine Spalte und eine Zeile Null.
$ [mm] A=\pmat{ 0& sin^2 t & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ sin t & 0 &0 } [/mm] $
Also ist sie auch nicht mehr quadratisch und somit nicht invertierbar. Wüsste nicht wie ich es sonst herleiten sollte. Aufgabe 26 muss ich mir noch überlegen, bin heute Abend wieder da, falls nicht versuche ich mich Morgen nochmal zu melden
freundliche grüße blacky
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> >
> > einfach so geraten ?
> > es ist sicher eine Herleitung verlangt ...
> > Für k=1 ist z.B.
> > [mm]t=(1/2)pi\red{+}k\approx2.571\approx147.3^{\circ}[/mm]
dies hast du aber bestimmt nicht so gemeint !
> >
> > LG Al-Chw.
> >
>
>
> Ich hab einfach rum probiert. sin wird ja immer für 0, pi
> und ein vielfaches von pi null. das selbe gilt auch für
> negative k.
>
> dann bekomm ich eine matrix , indem alles wo ein sin stand
> zu 0 wird.
>
> [mm]A=\pmat{ 0 & 0 & cos^2 t \\ 0 & cos^2 t & 0 \\ 0 & cos t &0 }[/mm]
>
> Eine ganze Spalte wird Null die Matrix ist nicht mehr
> quadratisch.
quadratisch ist die Matrix natürlich trotz der Nullen
immer noch !
>
> Und wenn ich für Cos pi/2 einsetze oder ein Vielfaches
> davon, dann wird sogar eine Spalte und eine Zeile Null.
> [mm]A=\pmat{ 0& sin^2 t & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ sin t & 0 &0 }[/mm]
>
> Also ist sie auch nicht mehr quadratisch und somit nicht
> invertierbar. Wüsste nicht wie ich es sonst herleiten
> sollte. Aufgabe 26 muss ich mir noch überlegen, bin heute
> Abend wieder da, falls nicht versuche ich mich Morgen
> nochmal zu melden
>
> freundliche grüße blacky
O.K. , falls sin(x)=0 oder cos(x)=0, ist die Matrix
sicher nicht invertierbar. Das kann man so zusammen-
fassen: für alle ganzzahligen Vielfachen von [mm] \frac{\pi}{2} [/mm] ist
die Matrix nicht invertierbar:
$\ x\ =\ [mm] k*\frac{\pi}{2}\qquad (k\in\IZ)$
[/mm]
Es wäre aber denkbar, dass es noch gewisse
weitere x gibt, für welche die Matrix ebenfalls nicht
invertierbar ist !
LG Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:02 So 29.11.2009 | | Autor: | blackylk |
> Es wäre aber denkbar, dass es noch gewisse
> weitere x gibt, für welche die Matrix ebenfalls nicht
> invertierbar ist !
>
>
> LG Al-Chw.
>
Eigentlich sind doch alle Fälle abgedeckt. Oder hab ich da was übersehen? Setze ich x beliebige werte für t ein, lässt sich die Matrix invertieren.
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Hallo blackylk,
>
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> > Es wäre aber denkbar, dass es noch gewisse
> > weitere x gibt, für welche die Matrix ebenfalls nicht
> > invertierbar ist !
> >
> >
> > LG Al-Chw.
> >
>
> Eigentlich sind doch alle Fälle abgedeckt. Oder hab ich da
> was übersehen? Setze ich x beliebige werte für t ein,
> lässt sich die Matrix invertieren.
Bis jetzt haben wir nur für die Fälle $t = [mm] \frac{k}{2}*\pi$ [/mm] diese Aussage nachweisen können. Es könnte doch aber sein, dass zum Beispiel für [mm] $t=\pi/3$ [/mm] plötzlich eine Matrix der Form
[mm] \pmat{1 & 1 &0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 2 & 2 & 0}
[/mm]
(gesponnenes Beispiel) entsteht, es also nicht unmittelbar offensichtlich ist, dass sie nicht Vollrang hat, aber es eben trotzdem so ist.
Deswegen solltest du nun für die Fälle [mm] t\in\IR, t\not= \frac{k}{2}*\pi [/mm] ( das macht dir das Umformen leichter) entweder nochmal die Determinante der Matrix bestimmen oder den Gauß-Algorithmus anwenden und die Matrix auf Zeilenstufenform bringen, um mit Sicherheit auch für die restlichen t eine Aussage machen zu können.
Grüße,
Stefan
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> > Es wäre aber denkbar, dass es noch gewisse
> > weitere x gibt, für welche die Matrix ebenfalls nicht
> > invertierbar ist !
> >
> >
> > LG Al-Chw.
> >
>
> Eigentlich sind doch alle Fälle abgedeckt. Oder hab ich da
> was übersehen? Setze ich x beliebige werte für t ein,
> lässt sich die Matrix invertieren.
Es sind tatsächlich noch nicht alle Fälle
abgedeckt.
Berechne die Determinante der Matrix und prüfe,
für welche t-Werte diese verschwindet !
Tipp zur Erleichterung der Arbeit: setze s:=sin(t)
und c:=cos(t) !
LG Al-Chw.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:54 Do 10.12.2009 | | Autor: | blackylk |
Ich hab ja nur die Fälle det A=0 für <=>sin(t)=0 oder cos(t)=0 abgedeckt. Dabei hab ich allerdings vergessen das sin(t) und cos(t) sich auch schneiden können. Dementsprechend gibt es noch die Fälle:
Am besten Zeichnet man die Sinus und Cos Kurve. Habe dann auch gesehen das mir noch die andern beiden Fälle fehlten.
sin(t) = cos(t)
und
wenn sin(t)=-cos(t) ist.
also wird die Matrix für
t= [mm] \frac{(k*\pi)}{4} +\pi*k [/mm] oder t= [mm] \in \frac{(3*k*\pi)}{4} +\pi*k [/mm] wobei
k [mm] \in \IZ
[/mm]
also im Prinzip für alle t= [mm] \frac{(x*\pi)}{4} [/mm] wobei [mm] x\in \IZ [/mm] , dann sind auch alle Fälle aufgedeckt und zur ersten Aufgabe, hab da folgenden Fehler reingehauen. Hab zwar bei [mm] BA=E_2 [/mm] die Matrix aufgestellt wie du schon gesagt hast, aber das LGS nicht mehr gelöst. Und [mm] AC=E_3 [/mm] ging nicht, da man aus einer Rang 2 Matrix keine Rang 3 Einheitsmatrix machen kann.
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> Ich hab ja nur die Fälle det A=0 für <=>sin(t)=0 oder
> cos(t)=0 abgedeckt. Dabei hab ich allerdings vergessen das
> sin(t) und cos(t) sich auch schneiden können.
> Dementsprechend gibt es noch die Fälle:
> Am besten Zeichnet man die Sinus und Cos Kurve. Habe dann
> auch gesehen das mir noch die andern beiden Fälle fehlten.
>
> sin(t) = cos(t)
>
> und
>
> wenn sin(t)=-cos(t) ist.
>
> also wird die Matrix für
>
> t= [mm]\frac{(k*\pi)}{4} +\pi*k[/mm] oder t= [mm]\in \frac{(3*k*\pi)}{4} +\pi*k[/mm]
> wobei
> k [mm]\in \IZ[/mm]
>
> also im Prinzip für alle t= [mm]\frac{(x*\pi)}{4}[/mm] wobei [mm]x\in \IZ[/mm] ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
> , dann sind auch alle Fälle aufgedeckt und zur ersten
> Aufgabe, hab da folgenden Fehler reingehauen. Hab zwar bei
> [mm]BA=E_2[/mm] die Matrix aufgestellt wie du schon gesagt hast,
> aber das LGS nicht mehr gelöst. Und [mm]AC=E_3[/mm] ging nicht, da
> man aus einer Rang 2 Matrix keine Rang 3 Einheitsmatrix
> machen kann.
Hat eigentlich nicht mal mit dem Rang zu tun,
sondern mit dem Format der Matrix: Da die Matrix A
nur zwei Spalten hat, hat auch jedes mögliche
Matrixprodukt C*A nur zwei Spalten, kann also
nicht [mm] E_3 [/mm] (mit 3 Spalten) sein. Möglich wäre
allenfalls eine 3x2-Matrix D mit [mm] A*D=E_3 [/mm] .
Das LGS zur Gleichung [mm] B*A=E_2 [/mm] hat natürlich
unendlich viele Lösungen. Es zerfällt ja eigentlich
in zwei separate LGS (eines für die ersten 3 Variablen,
eines für die anderen drei) mit jeweils [mm] \infty [/mm] vielen,
von je einem Parameter abhängigen Lösungen.
LG Al-Chw.
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