Forum "Uni-Lineare Algebra" - Matrizen Frage 4 - MatheRaum - Offene Informations- und Vorhilfegemeinschaft

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Forum "Uni-Lineare Algebra" - Matrizen Frage 4

Matrizen Frage 4 < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe

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Matrizen Frage 4: Frage (beantwortet)

Status:	(Frage) beantwortet
Datum:	02:40 Do 07.10.2004
Autor:	eini

4.)Die symmetrische Matrix A sei positiv definit ( Mein Lieblingsthema der letzten Tage :-)

) .Dann gilt
I.) [mm] A^{-1} [/mm] ist positiv definit
II.) [mm] A^{-1} [/mm] ist negativ definit
[mm] III.)A^{-1} [/mm] ist indefinit
IV.) A muß nicht invertierbar sein.
Aufgabe: Welche dieser Aussagen stimmt?
Wie fängt man sowas an??

Bezug

Matrizen Frage 4: Antwort

Status:	(Antwort) fertig
Datum:	08:55 Do 07.10.2004
Autor:	Julius

Lieber eini!

> 4.)Die symmetrische Matrix A sei positiv definit ( Mein
> Lieblingsthema der letzten Tage :-)

) .Dann gilt
>  I.)  [mm]A^{-1}[/mm] ist positiv definit
>  II.) [mm]A^{-1}[/mm] ist negativ definit
>  [mm]III.)A^{-1}[/mm] ist indefinit
>  IV.) A muß nicht invertierbar sein.
>  Aufgabe: Welche dieser Aussagen stimmt?
>  Wie fängt man sowas an??

Wenn du Aufgabe 3 gelöst hast, wirst du sehen, dass die Aussage I. richtig ist.

Warum?

Da $A$ symmetrisch und positiv definit ist, hat $A$ nur positive Eigenwerte und ist ähnlich zu einer Diagonalmatrix, auf deren Diagonale nur positive Einträge (die Eigenwerte eben) stehen.

Um zu zeigen, dass auch [mm] $A^{-1}$ [/mm] positiv ist, genügt es zu zeigen, dass auch [mm] $A^{-1}$ [/mm] ähnlich zu einer Diagonalmatrix ist, auf deren Diagonale nur positive Einträge stehen. Dann hat nämlich [mm] $A^{-1}$ [/mm] nur positive Eigenwerte und ist somit als symmetrische Matrix mit positiven Eigenwerte positiv definit.

Wie könnte man das nun mit Hilfe von Aufgabe 3 zeigen? Hast du eine Idee? :-)