Matrizen Frage 3 < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 02:40 Do 07.10.2004 | | Autor: | eini |
3.)So, jetzt eine komische...
Betrachten Sie für eine invertierbare Matrix A die beiden folgenden Aussagen:
I.) Ist A diagonalisierbar, so gilt dies auch für [mm] A^{T} [/mm] ( transponiert ) II.)Ist A diagonalisierbar, so gilt dies auch für [mm] A^{-1}
[/mm]
Was ist richtig? I.) oder II.) oder beides?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:48 Do 07.10.2004 | | Autor: | Julius |
Hallo eini!
> 3.)So, jetzt eine komische...
> Betrachten Sie für eine invertierbare Matrix A die beiden
> folgenden Aussagen:
>
> I.) Ist A diagonalisierbar, so gilt dies auch für [mm]A^{T}[/mm] (
> transponiert ) II.)Ist A diagonalisierbar, so gilt
> dies auch für [mm]A^{-1}
[/mm]
>
> Was ist richtig? I.) oder II.) oder beides?
Beides ist richtig.
Zu I.)
Ist $A$ diagonalisierbar, so gibt es eine invertierbare Matrix $C$ mit
[mm] $CAC^{-1} [/mm] = D$.
Transponieren wir beide Seiten, so folgt:
[mm] $(CAC^{-1})^T [/mm] = [mm] D^T$.
[/mm]
Wegen [mm] $(CAC^{-1})^T [/mm] = [mm] (C^{-1})^TA^TC^T [/mm] = [mm] (C^T)^{-1} A^T C^T$ [/mm] und [mm] $D^T=D$ [/mm] folgt:
[mm] $(C^T)^{-1}A^TC^T [/mm] = D$,
d.h. auch [mm] $A^T$ [/mm] ist diagonalisierbar (zur gleichen Diagonalmatrix wie $A$, d.h. $A$ und [mm] $A^T$ [/mm] sind ähnlich!).
Zu II.)
Ist $A$ diagonalisierbar, so gibt es eine invertierbare Matrix $C$ mit
[mm] $CAC^{-1} [/mm] = D$.
Mit $C$ und $A$ ist auch $D$ invertierbar. Invertieren wir beide Seiten, so folgt:
[mm] $(CAC^{-1})^{-1} [/mm] = [mm] D^{-1}$.
[/mm]
Gehe nun ganz genau wie oben vor und führe die Aufgabe bitte selber zu Ende. Was erhältst du? Teile uns den Rechenweg bitte mit, damit wir ihn für dich überprüfen können.
Liebe Grüße
Julius
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