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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:49 Mo 27.02.2012 | | Autor: | bobiiii |
| Aufgabe | Gegeben ist folgende Matrix A.
a) Berechnen Sie A2 (Matrizenprodukt) und At Transposition (Umwandlung von Spaltenin Zeilen-Vektoren und umgekehrt) für die 2x2 Matrix A:
A= [mm] \begin{pmatrix}0 & 1 \\1 & 0\end{pmatrix}
[/mm]
b) Begründen Sie, warum A der linearen Abbildung entspricht, welche die beiden Einheitsvektoren vertauscht:
[mm] A*e_1=e_2 [/mm] und [mm] A*e_2=e_1, [/mm] wobei [mm] e_1=(1, 0)^t={1 \choose 0},
[/mm]
[mm] e_2=(0, 1)^t={0 \choose 1}. [/mm] |
Hallo an alle!!
Habe leider keine Ahnung wie man die Frage b) beantworten soll, wieso entspricht A der linearen Abbildung??? Es wurde mir schon der Tipp gegeben, dass es sich um eine Spiegelmatrix handelt, aber ich verstehe null.
Kann mir das jemand bitte erklären?
Grüße
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
[http://www.matheboard.de/thread.php?threadid=484451&hilightuser=22653,http://www.onlinemathe.de/forum/Matritzenprodukt-Transposition]
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> Gegeben ist folgende Matrix A.
> a) Berechnen Sie A2 (Matrizenprodukt) und At Transposition
> (Umwandlung von Spaltenin Zeilen-Vektoren und umgekehrt)
> für die 2x2 Matrix A:
>
> A= [mm]\begin{pmatrix}0 & 1 \\
1 & 0\end{pmatrix}[/mm]
>
> b) Begründen Sie, warum A der linearen Abbildung
> entspricht, welche die beiden Einheitsvektoren vertauscht:
> [mm]A*e_1=e_2[/mm] und [mm]A*e_2=e_1,[/mm] wobei [mm]e_1=(1, 0)^t={1 \choose 0},[/mm]
>
> [mm]e_2=(0, 1)^t={0 \choose 1}.[/mm]
> Hallo an alle!!
>
> Habe leider keine Ahnung wie man die Frage b) beantworten
> soll, wieso entspricht A der linearen Abbildung???
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Die Frage b) ist wirklich bescheuert - von der Formulierung her.
Was soll denn das bedeuten, daß A irgendweiner linearen Abbildung "entspricht"?
Naja, ich verstehe schon, was gemeint ist: Du sollst begründen, daß A die Darstellungsmatrix der Abbildung [mm] f:\IR^2\to \IR^2 [/mm] ist, welche die Einheitsvektoren vertauscht.
Wie man das begründet, hängt ein bißchen davon ab, was vorher dran war.
Man könnte es so machen: die lineare Abbildung, welche die beiden Einheitsvektoren vertauscht, ist die durch [mm] f(\vektor({x\\y}):=\vektor{y\\x} [/mm] gegebene Abbildung, wovon man sich durch Einsetzen überzeuge.
Für alle x,y ist [mm] A*\vektor{x\\y}=\vektor{y\\x}=f(\vektor{x\\y}), [/mm] also ist A darstellende Matrix von f.
Du deutest etwas in Richtung "Spiegelung" an.
Auch hier kommt's drauf an, was dran war.
Anhand von Eigenwerten und Eigenräumen kann man A entnehmen, daß diese Matrix Darstellungsmatrix der Spiegelung an der Winkelhalbierenden ist und somit die beiden Einheitsvektoren vertauscht.
LG Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:29 Di 28.02.2012 | | Autor: | bobiiii |
Hallo und danke für die Antwort!!
Aber was ist dieses [mm] f:\IR^2\to \IR^2 [/mm] und warum ist es x,y ist [mm] A*\vektor{x\\y}=\vektor{y\\x}=f(\vektor{x\\y}), [/mm] genauer gefragt warum [mm] f(\vektor{x\\y}) [/mm] ????
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:06 Di 28.02.2012 | | Autor: | Teufel |
Hi!
$f: [mm] \IR^2 \to \IR^2$ [/mm] bedeutet nur, dass du in die Abbildung Vektoren aus dem [mm] $\IR^2$ [/mm] einsetzen darfst und wieder Vektoren aus dem [mm] $\IR^2$ [/mm] rausbekommst. Das wusstest du natürlich schon vorher, aber es ist immer besser das mit hinzuschreiben, obwohl man das in der Schule wohl nie macht.
Du sollst nun einfach folgendes zeigen:
[mm] $A*e_1=e_2$ [/mm] und [mm] $A*e_2=e_1$. [/mm] Prüfe diese beiden Gleichungen nach, indem du die beiden Vektoren [mm] e_1 [/mm] und [mm] e_2 [/mm] jeweils einsetzt.
Allgemein folgt daraus schon, dass die Matrix immer die beiden Einträge von einem Vektor vertauscht. Wenn du also [mm] \pmat{ 0 & 1 \\ 1 & 0 }*\vektor{5 \\ 3} [/mm] ausrechnest, kommst du auf [mm] \vektor{3 \\ 5}. [/mm] Angela hat dir das für allgemeine Komponenten x und y aufgeschrieben (anstatt 5 und 3 wie bei mir hier).
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> Hi!
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> [mm]f: \IR^2 \to \IR^2[/mm] bedeutet nur, dass du in die Abbildung
> Vektoren aus dem [mm]\IR^2[/mm] einsetzen darfst und wieder Vektoren
> aus dem [mm]\IR^2[/mm] rausbekommst. Das wusstest du natürlich
> schon vorher, aber es ist immer besser das mit
> hinzuschreiben, obwohl man das in der Schule wohl nie
> macht.
>
> Du sollst nun einfach folgen[mm]A*e_1=e_2[/mm]des zeigen:
> und [mm]A*e_2=e_1[/mm]. Prüfe diese beiden Gleichungen
> nach, indem du die beiden Vektoren [mm]e_1[/mm] und [mm]e_2[/mm] jeweils
> einsetzt.
Achso!
Ich glaube, daß Du, Teufel, so ziemlich der erste hier bist, der die Aufgabenstellung kapiert hat.
Man soll das einfach vor- bzw. nachrechnen...
Da wär' ich im Leben nicht drauf gekommen!
Also bobiiii, multipliziere schön, und gräme Dich nicht so sehr um x und y.
LG Angela
> Allgemein folgt daraus schon, dass die Matrix immer die
> beiden Einträge von einem Vektor vertauscht. Wenn du also
> [mm]\pmat{ 0 & 1 \\
1 & 0 }*\vektor{5 \\
3}[/mm] ausrechnest, kommst
> du auf [mm]\vektor{3 \\
5}.[/mm] Angela hat dir das für allgemeine
> Komponenten x und y aufgeschrieben (anstatt 5 und 3 wie bei
> mir hier).
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:51 Di 28.02.2012 | | Autor: | bobiiii |
Tut leid, aber ich verstehe es irgenwie leider immer noch nicht, warum A der linearen Abbildung entspricht??
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Hi,
vielleicht wird es deutlicher, wenn man es salopp erklärt.
Bei einer linearen Abbildung handelt es sich ja von einer Funktion f, in die du etwas hinein gibst und f(x) und y=f(x) heraus kommt und zusätzlich noch [mm]f(\alpha x_1+\beta x_2)=\alpha f(x_1)+\beta f(x_2)[/mm]=f(x) für geeignete [mm]\alpha,\beta,x_1,x_2[/mm] gilt.
Hier erhält die Funktion f als Eingabe einen Vektor aus dem [mm]\vektor{a\\
b}\in \IR^2[/mm] und liefert dir einen Vektor [mm]\vektor{a'\\
b'}\in \IR^2[/mm]. Somit rechnest du [mm]f\left(\vektor{a\\
b}\right)=\vektor{a'\\
b'}\in \IR^2[/mm] aus. Und die Matrix A gibt dir vor, wie du zu rechnen hast:
[mm]f\left(\vektor{a\\
b}\right):=A\cdot \vektor{a\\
b}[/mm]
Z.B. ist
[mm]f\left(\vektor{3\\
4}\right):=A\cdot \vektor{3\\
4}=\pmat{0&1\\
1&0}\vektor{3\\
4}=\vektor{4\\
3}[/mm]
Jetzt musst du die Rechnung für die Einheitsvektoren [mm]e_1,e_2[/mm] durchführen, wie Teufel schon schrieb.
Allerdings steht in der Aufgabe auch
> A der linearen Abbildung entspricht
In meinen Augen ist auch noch
[mm]f(\alpha x_1+\beta x_2)=\alpha f(x_1)+\beta f(x_2),\quad \alpha,\beta\in\IR,x_1,x_2\in\IR^2[/mm]
zu zeigen (oder zumindest zu erwähnen.)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:23 Mi 29.02.2012 | | Autor: | bobiiii |
Danke für eure Hilfe!!!!
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