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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:47 Di 08.11.2011 | | Autor: | hubbel |
| Aufgabe | Sei K ein Körper, [mm]n\in\IN[/mm]. Bestimmen Sie
[mm] Z:=(A\in K^{nxn}| \forall [/mm] B [mm] \in K^{nxn}:AB=BA) [/mm] |
Bin mir nicht sicher, ob ich die Aufgabenstellung richtig verstehe. Und zwar soll ich eine Matrix A finden, die mit B multipliziert das gleiche ergibt wie B mit A multipliziert. Stimmt das? Kann eigentlich nicht sein, da wir in der Vorlesung hatten, dass das Produkt von Matrizen nicht kommutativ ist.
Kann mir das mal jemand erklären bitte.
Danke schonmal.
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Hallo hubbel,
> Sei K ein Körper, [mm]n\in\IN[/mm]. Bestimmen Sie
>
> [mm]Z:=(A\in K^{nxn}| \forall[/mm] B [mm]\in K^{nxn}:AB=BA)[/mm]
> Bin mir
> nicht sicher, ob ich die Aufgabenstellung richtig verstehe.
> Und zwar soll ich eine Matrix A finden, die mit B
> multipliziert das gleiche ergibt wie B mit A multipliziert.
> Stimmt das? Kann eigentlich nicht sein, da wir in der
> Vorlesung hatten, dass das Produkt von Matrizen nicht
> kommutativ ist.
>
> Kann mir das mal jemand erklären bitte.
Naja, sicher ist die Matrixmultiplikation nicht für alle Matrizen kommutativ, aber du sammelst ja in [mm]Z[/mm] ja auch "nur" diejenigen Matrizen, die mit allen anderen kommutieren.
Es ist doch sicher die Einheitsmatrix [mm]\mathbb{E}_n[/mm] in Z, denn [mm]\mathbb{E}_n\cdot{}B=B\cdot{}\mathbb{E}_n[/mm] ist doch klar für alle [mm]B\in\IK^{n\times n}[/mm]
Damit sind auch alle [mm]\lambda[/mm]-fachen der Einheitsmatrix in Z ([mm]\lambda\in\IK[/mm])
Das ist also doch alles sinnvoll 
Überlege mal, ob es weiter Matrizen in Z geben kann und wenn ja, wie die wohl aussehen bzw. wenn nicht, warum es keine weiteren mehr geben kann.
>
> Danke schonmal.
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:17 Di 08.11.2011 | | Autor: | hubbel |
Die Nullmatrix würde noch funktionieren und wenn B eben die inverse Matrix zu A wäre, dann müsste es auch noch funktionieren, richtig?
Wie kann ich sowas aber mathematisch ausdrücken? Einfach einen Text dazu schreiben, wird wohl kaun reichen.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:38 Di 08.11.2011 | | Autor: | fred97 |
> Die Nullmatrix würde noch funktionieren und wenn B eben
> die inverse Matrix zu A wäre, dann müsste es auch noch
> funktionieren, richtig?
Du hast noch nicht verstanden worum es geht.
Es geht um folgendes: für welche Matrizen A [mm] \in K^{n \times n} [/mm] gilt:
AB=BA für jede Matrix B [mm] \in K^{n \times n}
[/mm]
Die Betonung liegt auf dem Wort "jede"
FRED
>
> Wie kann ich sowas aber mathematisch ausdrücken? Einfach
> einen Text dazu schreiben, wird wohl kaun reichen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:51 Di 08.11.2011 | | Autor: | hubbel |
Ja, stimmt, irgendwie verstehe ich das noch nicht ganz. Ich drück es mal in meinen Worten aus:
Also, ich suche jede Matrix B, für die gilt, dass AB=BA ist oder? Die Matrix A ist sozusagen fest und ich soll jede Matrix B bestimmen.
Richtig oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:54 Di 08.11.2011 | | Autor: | fred97 |
> Ja, stimmt, irgendwie verstehe ich das noch nicht ganz. Ich
> drück es mal in meinen Worten aus:
>
> Also, ich suche jede Matrix B, für die gilt, dass AB=BA
> ist oder? Die Matrix A ist sozusagen fest und ich soll jede
> Matrix B bestimmen.
>
> Richtig oder?
Nein. Gesucht sind die Matrizen A, die mit jeder Matrix B kommutieren.
FRED
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:05 Di 08.11.2011 | | Autor: | hubbel |
Wie würde ich dann am besten beginnen? Ich würde A als beliebig annehmen, also beispielsweise als 2*2 Matrix mit a,b,c,d und B fest mit 1,1,1,1 z.B. und dann AB=BA setzen und auflösen.
Weil wenn ich es allgemein machen würde, wüsste ich ja nicht wie groß die Matrizen, durch das n sind oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:11 Di 08.11.2011 | | Autor: | fred97 |
> Wie würde ich dann am besten beginnen? Ich würde A als
> beliebig annehmen, also beispielsweise als 2*2 Matrix mit
> a,b,c,d und B fest mit 1,1,1,1 z.B. und dann AB=BA setzen
> und auflösen.
>
> Weil wenn ich es allgemein machen würde, wüsste ich ja
> nicht wie groß die Matrizen, durch das n sind oder?
Sei A eine nxn -Matrix mit der Eigenschaft:
AB=BA für jede nxn-Matrix B
Für i,j [mm] \in \{1,2,..,n\} [/mm] sei [mm] B_{ij} [/mm] die nxn _ Matrix welche ganau eine 1 enthält , nämlich an der Position ij , und sonst nur Nullen.
Welche Information erhältst Du aus
[mm] AB_{ij} =B_{ij}A
[/mm]
?
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:24 Di 08.11.2011 | | Autor: | hubbel |
Ja, die 1 befindet sich dann in der i-ten Spalte bzw. j-ten Zeile.
Ich erhalte die Information, dass das ganze kommutativ ist oder worauf willst du hinaus?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:57 Mi 09.11.2011 | | Autor: | fred97 |
> Ja, die 1 befindet sich dann in der i-ten Spalte bzw. j-ten
> Zeile.
>
> Ich erhalte die Information, dass das ganze kommutativ ist
Mann, Du hast immer noch nicht begriffen , worum es geht.
Gegeben: eine nxn-Matrix A. Für diese soll gelten:
AB=BA für jede nxn-Matrix B.
Die Frage ist: wie sieht A aus ?
Wir machen das mal für n=2:
Ansatz: [mm] A=\pmat{ a & b \\ c & d }
[/mm]
Jetzt wählen wir [mm] B=\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 0 }
[/mm]
Nach Vor. gilt:
AB=BA.
Berechne AB und berechne BA. Dann wirst Du sehen: b=c=0
Damit sieht A schon mal so aus: [mm] A=\pmat{ a & 0 \\ 0 & d }
[/mm]
Jetzt wählen wir [mm] B=\pmat{ 0 & 1 \\ 0 & 0 }.
[/mm]
Nach Vor. gilt:
AB=BA.
Berechne AB und berechne BA. Dann wirst Du sehen: a=d.
Damit ist [mm] A=aE_2 [/mm] ( [mm] E_2 [/mm] ist die 2x2 - Einheitsmatrix)
---------------------------------------
Ist umgekehrt a [mm] \in \IR [/mm] und [mm] A=aE_2, [/mm] so gilt trivialerweise:
AB=BA für jede 2x2-Matrix B
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FAZIT: für eine 2x2-Matrix A gilt:
AB=BA für jede 2x2-Matrix B [mm] \gdw [/mm] es ex. ein a [mm] \in \IR [/mm] mit [mm] A=aE_2.
[/mm]
----------------------------------------------------------
Zeige nun:
für eine nxn-Matrix A gilt:
AB=BA für jede nxn-Matrix B [mm] \gdw [/mm] es ex. ein a [mm] \in \IR [/mm] mit [mm] A=aE_n.
[/mm]
FRED
> oder worauf willst du hinaus?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:08 Mi 09.11.2011 | | Autor: | hubbel |
Gegeben ist eine nxn-Matrix, für die soll gelten:
AB=BA für jede nxn-Matrix B.
Ansatz: [mm] A=\begin{bmatrix}a_{11} & \cdots & a_{1n} \\\vdots & \dots & \vdots \\a_{m1} & \cdots & a_{mn}\end{bmatrix}
[/mm]
Nun wählen wir: [mm] B=\begin{bmatrix}1 & \cdots & 0 \\\vdots & \dots & \vdots \\0 & \cdots & 0\end{bmatrix}
[/mm]
Es gilt:
AB=BA
[mm] A*B=\begin{bmatrix}a_{11} & \cdots & a_{1n} \\\vdots & \dots & \vdots \\a_{m1} & \cdots & a_{mn}\end{bmatrix}*\begin{bmatrix}1 & \cdots & 0 \\\vdots & \dots & \vdots \\0 & \cdots & 0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}a_{11} & \cdots & 0 \\\vdots & \dots & \vdots \\a_{m1} & \cdots & 0\end{bmatrix}
[/mm]
[mm] B*A=\begin{bmatrix}1 & \cdots & 0 \\\vdots & \dots & \vdots \\0 & \cdots & 0\end{bmatrix}*\begin{bmatrix}a_{11} & \cdots & a_{1n} \\\vdots & \dots & \vdots \\a_{m1} & \cdots & a_{mn}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}a_{11} & \cdots & a_{1n} \\\vdots & \dots & \vdots \\0 & \cdots & 0\end{bmatrix}
[/mm]
Man sieht, dass [mm] a_{1n}=a_{m1}=0 [/mm] gelten muss.
Nun wählen wir B neu.
[mm] B=\begin{bmatrix}0 & \cdots & 1 \\\vdots & \dots & \vdots \\0 & \cdots & 0\end{bmatrix}
[/mm]
[mm] A*B=\begin{bmatrix}a_{11} & \cdots & a_{1n} \\\vdots & \dots & \vdots \\a_{m1} & \cdots & a_{mn}\end{bmatrix}*\begin{bmatrix}0 & \cdots & 1 \\\vdots & \dots & \vdots \\0 & \cdots & 0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0 & \cdots & a_{11} \\\vdots & \dots & \vdots \\0 & \cdots & a_{m1}\end{bmatrix}
[/mm]
[mm] B*A=\begin{bmatrix}0 & \cdots & 1 \\\vdots & \dots & \vdots \\0 & \cdots & 0\end{bmatrix}*\begin{bmatrix}a_{11} & \cdots & a_{1n} \\\vdots & \dots & \vdots \\a_{m1} & \cdots & a_{mn}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}a_{m1} & \cdots & a_{mn} \\\vdots & \dots & \vdots \\0 & \cdots & 0\end{bmatrix}
[/mm]
Somit sieht man, dass [mm] a_{m1}=a_{mn} [/mm] sein müssen.
Damit gilt: [mm] A=aE_n
[/mm]
Danke für deine Geduld, ich hoffe, dass man das so machen kann.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:56 Mi 09.11.2011 | | Autor: | fred97 |
> Gegeben ist eine nxn-Matrix, für die soll gelten:
>
> AB=BA für jede nxn-Matrix B.
>
> Ansatz: [mm]A=\begin{bmatrix}a_{11} & \cdots & a_{1n} \\\vdots & \dots & \vdots \\a_{m1} & \cdots & a_{mn}\end{bmatrix}[/mm]
Es ist n=m !!!
>
> Nun wählen wir: [mm]B=\begin{bmatrix}1 & \cdots & 0 \\\vdots & \dots & \vdots \\0 & \cdots & 0\end{bmatrix}[/mm]
>
> Es gilt:
>
> AB=BA
>
> [mm]A*B=\begin{bmatrix}a_{11} & \cdots & a_{1n} \\\vdots & \dots & \vdots \\a_{m1} & \cdots & a_{mn}\end{bmatrix}*\begin{bmatrix}1 & \cdots & 0 \\\vdots & \dots & \vdots \\0 & \cdots & 0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}a_{11} & \cdots & 0 \\\vdots & \dots & \vdots \\a_{m1} & \cdots & 0\end{bmatrix}[/mm]
>
> [mm]B*A=\begin{bmatrix}1 & \cdots & 0 \\\vdots & \dots & \vdots \\0 & \cdots & 0\end{bmatrix}*\begin{bmatrix}a_{11} & \cdots & a_{1n} \\\vdots & \dots & \vdots \\a_{m1} & \cdots & a_{mn}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}a_{11} & \cdots & a_{1n} \\\vdots & \dots & \vdots \\0 & \cdots & 0\end{bmatrix}[/mm]
>
> Man sieht, dass [mm]a_{1n}=a_{m1}=0[/mm] gelten muss.
Es muss noch mehr gelten ! Hinschauen !
>
> Nun wählen wir B neu.
>
> [mm]B=\begin{bmatrix}0 & \cdots & 1 \\\vdots & \dots & \vdots \\0 & \cdots & 0\end{bmatrix}[/mm]
>
> [mm]A*B=\begin{bmatrix}a_{11} & \cdots & a_{1n} \\\vdots & \dots & \vdots \\a_{m1} & \cdots & a_{mn}\end{bmatrix}*\begin{bmatrix}0 & \cdots & 1 \\\vdots & \dots & \vdots \\0 & \cdots & 0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0 & \cdots & a_{11} \\\vdots & \dots & \vdots \\0 & \cdots & a_{m1}\end{bmatrix}[/mm]
>
> [mm]B*A=\begin{bmatrix}0 & \cdots & 1 \\\vdots & \dots & \vdots \\0 & \cdots & 0\end{bmatrix}*\begin{bmatrix}a_{11} & \cdots & a_{1n} \\\vdots & \dots & \vdots \\a_{m1} & \cdots & a_{mn}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}a_{m1} & \cdots & a_{mn} \\\vdots & \dots & \vdots \\0 & \cdots & 0\end{bmatrix}[/mm]
>
> Somit sieht man, dass [mm]a_{m1}=a_{mn}[/mm] sein müssen.
Auch hier : es gilt einiges mehr !
>
> Damit gilt: [mm]A=aE_n[/mm]
Wieso das denn ? Ich weiß warum: Du hast meine obigen Ausführungen zum Fall n=2 einfach ohne Sinn und Verstand abgekupfert !
Eines sollte doch klar sein: Im Falle n [mm] \ge [/mm] 3 kommt man sicher nicht mit 2 speziell gewählten Matrizen B aus.
>
> Danke für deine Geduld,
> ich hoffe, dass man das so machen kann.
Nein so kann man das nicht machen.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:40 Mi 09.11.2011 | | Autor: | hubbel |
Das mit dem nxn hab ich gar nicht berücksichtigt. Ich versuch's jetzt nochmal:
Ansatz: [mm] A=\begin{bmatrix}a_{11} & a_{12} \cdots & a_{1n} \\a_{21} & a_{22} \dots & 2_{2n} \\\vdots & \vdots & \vdots \\a_{n1} & a_{n2} \cdots & a_{nn}\end{bmatrix}
[/mm]
Nun wählen wir: [mm] B=\begin{bmatrix}1 & 0 \cdots & 0 \\0 & 0 \dots & 0\\\vdots & \vdots & \vdots \\0 & 0 \cdots & 0\end{bmatrix}
[/mm]
Das wäre nun der allgemeine Ansatz, nehme ich an, aber ich weiß nicht, wie ich damit rechnen soll. Wenn ich jetzt einfach eine 3x3 Matrix nehmen würde, dann würde es gehen, aber nxn ist ja unendlich groß sag ich mal. Bei einer 4x4 Matrix sieht das ganze ja ganz anders aus...
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Hallo,
dann mach "es" doch mal für n=3 und n=4!(Mach ggf. vor, was Du tust.)
Im Idealfall weißt Du danach, wie der Hase läuft und bekommst die [mm] n\times [/mm] n-Matrizen unter Kontrolle.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:07 Mi 09.11.2011 | | Autor: | hubbel |
[mm] A=\begin{bmatrix}a & b & c \\d & e & f \\ g & h & i\end{bmatrix}
[/mm]
B= [mm] \begin{bmatrix}1 & 0 & 0 \\0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{bmatrix}
[/mm]
[mm] A*B=\begin{bmatrix}a & 0 & 0 \\d & 0 & 0 \\ g & 0 & 0 \end{bmatrix}
[/mm]
[mm] B*A=\begin{bmatrix}a & b & c \\0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}
[/mm]
[mm] C=\begin{bmatrix}0 & 0 & 1 \\0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{bmatrix}
[/mm]
[mm] A*C=\begin{bmatrix}0 & 0 & a \\0 & 0 & d \\ 0 & 0 & g\end{bmatrix}
[/mm]
[mm] C*A=\begin{bmatrix}g & h & i \\0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{bmatrix}
[/mm]
Was mir auffällt, ist die Tatsache, dass immer da wo die 1 ist, die Reihe einmal vertikal und einmal horizontal entsteht. Aber beweistechnisch hilft mir das auch nicht...
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> [mm]A=\begin{bmatrix}a & b & c \\
d & e & f \\
g & h & i\end{bmatrix}[/mm]
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> B= [mm]\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0\end{bmatrix}[/mm]
>
> [mm]A*B=\begin{bmatrix}a & 0 & 0 \\
d & 0 & 0 \\
g & 0 & 0 \end{bmatrix}[/mm]
>
> [mm]B*A=\begin{bmatrix}a & b & c \\
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 \end{bmatrix}[/mm]
>
> [mm]C=\begin{bmatrix}0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0\end{bmatrix}[/mm]
>
> [mm]A*C=\begin{bmatrix}0 & 0 & a \\
0 & 0 & d \\
0 & 0 & g\end{bmatrix}[/mm]
>
> [mm]C*A=\begin{bmatrix}g & h & i \\
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0\end{bmatrix}[/mm]
>
> Was mir auffällt, ist die Tatsache, dass immer da wo die 1
> ist, die Reihe einmal vertikal und einmal horizontal
> entsteht. Aber beweistechnisch hilft mir das auch nicht...
Hallo,
na, dem, was Du schreibst, kann man doch schonmal entnehmen, daß
b=c=d=g=h=0 und a=i gelten muß.
Du hast Deine Matrix A ja bisher auch nur mit zwei Matrizen der zuvor vorgeschlagenen Bauart multipliziert.
Ich bin mir ziemlich sicher, daß u bei Multiplikation mit den weiteren Matrizen weitere Informationen erhalten wirst.
Irgendwie habe ich einen Eindruck von "denn er weiß nicht, was er tut".
Daher nochmal zur Erklärung:
Du suchst die Matrizen A, die man mit allen anderen Matrizen vertauschen kann.
Also kann man die Matrizen A insbesondere mit den Matrizen [mm] B_i_k [/mm] vertauschen, also mit denen, die an der Position [mm] b_i_k [/mm] eine 1 haben und sonst bloß Nullen.
Mindestens die Bedingungen an A, die sich hieraus ergeben, müssen für die Vertauschbarkeit gelten.
Daß sie hinreichend sind, zeigst Du anschließend in einem Minibeweis.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:21 Mi 09.11.2011 | | Autor: | hubbel |
Ich glaub das hat hier keinen großen Sinn mehr, hab mir alles hier durchgelesen, probiert auch die Sachen im Skript gelesen und ich bekomme es einfach nicht gebacken. Danke für eure Hilfe und tut mir Leid eure Zeit verschwendet zu haben.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:29 Di 08.11.2011 | | Autor: | hubbel |
Hab mir das jetzt nochmal durch den Kopf gehen lassen, ansich brauche ich eine Matrix, die auf der Diagonalen nur Einsen hat und der Rest wären Nullen, sorry, das sind sicherlich einfache Dinge, aber bin als Erstsemester momentan ziemlich überfordert. Vorallen bei Beweisen, weiß ich nie, wo ich ansetzen muss.
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