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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:24 Do 26.05.2005 | | Autor: | Edi1982 |
Hallo Leute.
Ich habe folgende kleine Frage an euch:
Ich soll dieses Gleichungssystem lösen:
[mm] x_1-x_2+x_3-x_4+x_5=1
[/mm]
[mm] 2x_1-x_2+3x_3+4x_5=2
[/mm]
[mm] 3x_1-2x_2+2x_3+x_4+x_5=1
[/mm]
[mm] x_1+x_3+2x_4+x_5=0
[/mm]
Also ich bin folgendermassen vorgegangen:
[mm] \pmat{ 1 & -1 & 1 & -1 & 1 & 1 \\ 2 & -1 & 3 & 0 & 4 & 2 \\ 3 & -2 & 2 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 2 & 1 & 0 }
[/mm]
wobei hier die letzte Spalte ja jeweils das Ergebnis der Gleichung ist.
Diese Matrix habe ich jetzt umgeformt zu:
[mm] \pmat{ 1 & -1 & 1 & -1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 2 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & -2 & 2 & -4 & -2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0} [/mm] (das stimmt, denn mehrmals nachgerechnet)
Da jetzt in der untersten Zeile nur Nullen stehen, vermute ich, dass man dieses lineare Gleichungssystem nicht lösen kann.
Jetzt muss ich nur eine Frage beantworten:
Wie groß ist die Dimension des Lösungsraumes des zugehörigen homogenen Systems?
Ich weiss nicht, um was es hier geht.
Brauch Hilfe, weil es wirklich eilt.
Danke
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Hallo,
> [mm]\pmat{ 1 & -1 & 1 & -1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 2 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & -2 & 2 & -4 & -2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0}[/mm]
> (das stimmt, denn mehrmals nachgerechnet)
>
> Da jetzt in der untersten Zeile nur Nullen stehen, vermute
> ich, dass man dieses lineare Gleichungssystem nicht lösen
> kann.
>
Das Gleichungssytem ist lösbar, da in der letzten Zeile nur Nullen stehen.
> Jetzt muss ich nur eine Frage beantworten:
> Wie groß ist die Dimension des Lösungsraumes des
> zugehörigen homogenen Systems?
Nun, es sind also 3 Gleichungen in 5 Variaben übriggeblieben.
Demzufolge gibt es eine 2-parametrige Lösungsschar, die nur durch das homogene System bestimmt wird.
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:56 Do 26.05.2005 | | Autor: | Edi1982 |
könntest du mir vielleicht irgendwie weiterhelfen, denn ich habe keine Ahnung von dem was du mir geschrieben hast.
Danke.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:33 Do 26.05.2005 | | Autor: | taura |
Hi!
Dass die letzte Zeile Null wird, bedeutet nicht, dass das GLS nicht lösbar ist, sondern nur, dass du eine der Variablen beliebig wählen kannst.
Sollst du den Lösungsraum angeben, oder nur die Dimension?
Die Dimension ist in diesem Fall 2, da du 5 Variablen hast und nur 3 unabhängige Gleichungen, die den Raum einschränken. Also kannst du 2 deiner Variablen bel. wählen, das ergibt die Dimension 2.
Wenn du den Lösungsraum auch angeben musst, frag nochmal nach!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:48 Do 26.05.2005 | | Autor: | Edi1982 |
Ja, den Lösungsraum muss ich auch angeben.
Verstehe ich das richtig, dass ich jetzt z.B. statt [mm] x_5 [/mm] und [mm] x_4 [/mm] a und b schreiben kann und dann die Matrix auflösen.
Wenn nicht [mm] \Rightarrow [/mm] bitte sagen wie.
Danke.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:38 Fr 27.05.2005 | | Autor: | DaMenge |
Hallo, schönen guten Abend/Nacht
> Verstehe ich das richtig, dass ich jetzt z.B. statt [mm]x_5[/mm] und
> [mm]x_4[/mm] a und b schreiben kann und dann die Matrix auflösen.
ganz genau, du musst dann [mm] x_1 [/mm] , [mm] x_2 [/mm] und [mm] x_3 [/mm] in Abhängigkeit von a und b angeben, zum Beispiel könntest du erhalten:
[mm] x_1 [/mm] = a+b
[mm] x_2 [/mm] = 3a
[mm] x_3 [/mm] = 2a-3b
dann ist dein Lösungsvektor: $ [mm] \vektor{a+b\\3a\\2a-3b\\b\\a}=a*\vektor{1\\3\\2\\0\\1}+b*\vektor{1\\0\\-3\\1\\0} [/mm] $
so siehst du auch gleich eine Basis des Lösungsraumes und damit natürlich auch, warum die Dimension 2 sein muss.
nächtliche Grüße
DaMenge
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