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| Aufgabe | | Zu finden sei eine 3x3 Matrix A über R, wobei A und [mm] A^2 [/mm] nicht die Nullmatrix, aber [mm] A^3 [/mm] schon die Nullmatrix ist. |
Liebe Mathe Genies,
Ich hab morgen eine sehr wichtige Mathe Prüfung und leider keinen Schimmer, wie dieses Beispiel zu lösen ist...wäre wirklich unglaublich nett, wenn ihr mir bei der Lösung behilflich sein könntet =)
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:31 Mo 31.05.2010 | | Autor: | fred97 |
> Zu finden sei eine 3x3 Matrix A über R, wobei A und [mm]A^2[/mm]
> nicht die Nullmatrix, aber [mm]A^3[/mm] schon die Nullmatrix ist.
> Liebe Mathe Genies,
> Ich hab morgen eine sehr wichtige Mathe Prüfung und
> leider keinen Schimmer, wie dieses Beispiel zu lösen
> ist...wäre wirklich unglaublich nett, wenn ihr mir bei der
> Lösung behilflich sein könntet =)
Ist [mm] A^3 [/mm] = 0, so hat A nur den Eigenwert 0. Somit ist das char. Polynom von A gegeben durch [mm] det(\lambda [/mm] E-A) = [mm] \lambda^3.
[/mm]
Das leistet z.B. jede Matrix der Form
$A= [mm] \pmat{ 0 & a & b \\ 0 & 0 & c \\ 0 & 0 & 0 }$
[/mm]
Ist umgekehrt A von obiger Gestalt, so besagt der Satz von Cayley-Hamilton, dass [mm] A^3 [/mm] = 0 ist.
Bestimme nun a,b, c so ,dass [mm] A^2 \ne [/mm] 0 ist.
FRED
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> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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erstmals vielen vielen dank für deine Hilfe =)
Aber ganz verstehe ich das immer noch nicht...kann ich jetzt für a,b,c irgendwelche reelle zahlen einsetzen?
Könntest du mir vll ein beispiel solch einer matrix geben? Nicht, dass du denkst, ich möchte nur die Lösung, aber vll verstehe ich den Denkvorgang so besser =)
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:19 Mo 31.05.2010 | | Autor: | fred97 |
> erstmals vielen vielen dank für deine Hilfe =)
> Aber ganz verstehe ich das immer noch nicht...kann ich
> jetzt für a,b,c irgendwelche reelle zahlen einsetzen?
> Könntest du mir vll ein beispiel solch einer matrix geben?
> Nicht, dass du denkst, ich möchte nur die Lösung, aber
> vll verstehe ich den Denkvorgang so besser =)
Alle Matrizen der Form
$ A= [mm] \pmat{ 0 & a & b \\ 0 & 0 & c \\ 0 & 0 & 0 } [/mm] $
haben die Eigenschaft: [mm] $A^3=0$. [/mm] Ist Dir das klar ?
Wenn ja, so berechne mal [mm] A^2
[/mm]
Wenn Du das richtig machst, siehst Du sofort:
[mm] $A^2 \ne [/mm] 0 [mm] \gdw [/mm] $ ???
??? sollst Du klären.
FRED
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Fred, ich danke dir vielmals! Habe deine Antwort zu schnell durchgelesen und anscheinend auch übersehen! Habe zu dem jetzt [mm] A^2 [/mm] berechnet für a=2, b=3 und c=5...kommt keine Nullmatrix zustande =)
Vielen Vielen Dank nochmala!
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