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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 07:21 Do 17.02.2005 | | Autor: | Sanne |
Hallo zusammen,
ich mal wieder...
Bei folgender Aufgabe komm ich (und auch alle anderen aus meinem Studiengang, die ich bisher gesprochen habe) absolut nicht klar.
Es sei [mm] \phi \in \IR
[/mm]
Bestimmen Sie sämtliche Matrizen A, für die
< [mm] \vektor{\cos\phi \\ \sin\phi}, \vektor{-\sin\phi \\ \cos\phi}>
[/mm]
die Lösungsmenge von [mm] A*\vec{x}=\vec{0} [/mm] ist.
Bitte versteht mich nicht falsch, ich möchte hier keinen kompletten Lösungsweg, nur einen Denkanstoß oder Ansatz, wie und wo ich anfangen kann... Stehe total am Schlauch.
Lieben Gruß,
Sanne
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:33 Do 17.02.2005 | | Autor: | Hexe |
Ok was weisst du über A, damit die Multiplikation hinhaut muss es von der Form [mm] 2\times [/mm] k sein. Also fängst du mit A=(a,b) an machst mit [mm] A=\pmat{a&b\\c&d} [/mm] weiter und schaust immer für welche a,b, ... das System lösbar ist. Könnt länglich werden aber dürfte zu ner Lösung führen
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:12 Do 17.02.2005 | | Autor: | Sanne |
Erstmal danke, Hexe, die Lösung leuchtet ein, aber kommt mir doch recht länglich vor.
Das Blatt mit drei Aufgaben haben wir vom Prof mal eben so hingeworfen bekommen ohne jeglichen Kommentar und natürlich auch ohne Besprechnung - keine Ahnung, ob das jetzt zur Klausurvorbereitung sein soll - wenn ja, dann wäre der Lösungsweg für ne Klausur wohl zu lang (gemessen an der Anzahl der Aufgaben der letzten Jahre)... Hm, also wenn jemandem noch was "einfacheres" einfällt, bitte immer her damit ;o)
Lieben Gruß
Sanne
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Hallo Hexe,
Der Kern der Abbildung soll ja der gesamte [mm] R^2 [/mm] sein (die Zwei gegebenen Vektoren spannen ja eine Orthonormalbasis des [mm] R^2 [/mm] auf), d.h. du kannst dir überlegen (ausprobieren) an wie vielen Stellen in deiner gesuchten Matrix eine andere Zahl als 0 erlaubt ist (wenn du dich mal auf ein gewisses K festgelegt hast)
viel Glück
Michael
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:20 Do 17.02.2005 | | Autor: | DaMenge |
Hi,
es ist doch folgendes System zu lösen: $ [mm] \pmat{a_1&b_1\\a_2&b_2\\\vdots&\vdots\\a_k&b_k}*x=\vektor{0\\0\\\vdots\\0_{(k)}} [/mm] $
wobei x aus dem R² ist.
bei beliebigen aber festen Winkel ist $ [mm] c:=\cos\phi [/mm] $ und $ [mm] s:=\sin\phi [/mm] $ konstant, deswegen ergeben sich aus der Lösungsmenge für JEDE Zeile der Matrix das Gleichungssystem:
$ [mm] a_i [/mm] *c [mm] +b_i [/mm] *s=0 $
$ [mm] -a_i [/mm] *s [mm] +b_i [/mm] *c=0 $
Daraus ergibt sich (mit Fallunterscheidung für den Winkel ) für jede Zeile nur eine Möglichkeit.
[Wenn man einen(?) speziellen Winkel hat, ist die Matrix beliebig wählbar - zumindest mit Freiheitsgraden]
Hoffe, dies wurde SO nicht schon genannt
viele Grüße
DaMenge
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Hallo DaMenge,
> bei beliebigen aber festen Winkel ist [mm]c:=\cos\phi[/mm] und
> [mm]s:=\sin\phi[/mm] konstant, deswegen ergeben sich aus der
> Lösungsmenge für JEDE Zeile der Matrix das
> Gleichungssystem:
> [mm]a_i *c +b_i *s=0[/mm]
> [mm]-a_i *s +b_i *c=0[/mm]
Im Ansatz müssten doch eigentlich (alle) Linearkombinationen dieser Vektoren stehen
> Daraus ergibt sich
> (mit Fallunterscheidung für den Winkel ) für jede Zeile nur
> eine Möglichkeit.
> [Wenn man einen(?) speziellen Winkel hat, ist die Matrix
> beliebig wählbar - zumindest mit Freiheitsgraden]
Erst schreibst Du es gibt nur eine Möglichkeit für jede Zeile und dann ist die Matrix beliebig?
gruß
mathemaduenn
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:14 Fr 18.02.2005 | | Autor: | DaMenge |
Hi mathemaduenn,
> > Lösungsmenge für JEDE Zeile der Matrix das
> > Gleichungssystem:
> > [mm]a_i *c +b_i *s=0[/mm]
> > [mm]-a_i *s +b_i *c=0[/mm]
> Im Ansatz
> müssten doch eigentlich (alle) Linearkombinationen dieser
> Vektoren stehen
Also ich verstehe es so, dass $ [mm] <\vektor{\cos\phi \\ \sin\phi}, \vektor{-\sin\phi \\ \cos\phi}> [/mm] $ (also das Erzeugnis) die Lösungsmenge des homogenen Gl.sys sein soll. Das bedeutet insbesondere doch auch, dass jeder der beiden Vektoren für sich schonmal Lösung sein muss.
[Dass dann alle LinKombis auch eine Lösung sind, ist wohl trivial]
> > Daraus ergibt sich
> > (mit Fallunterscheidung für den Winkel ) für jede Zeile nur
> > eine Möglichkeit.
> > [Wenn man einen(?) speziellen Winkel hat, ist die Matrix
> > beliebig wählbar - zumindest mit Freiheitsgraden]
> Erst schreibst Du es gibt nur eine Möglichkeit für jede
> Zeile und dann ist die Matrix beliebig?
Es gibt nur eine Möglichkeit, wenn der Winkel nicht speziell gewählt ist.
Wenn man das kleine Gl.sys für jede Zeile löst, muss man sowas wie [mm] a_i [/mm] * k = 0 lösen, wobei k nur vom Winkel(funktionen) abhängt, also muss man hier unterscheiden, ob der Winkel dieses k=0 macht oder (wenn der Winkel eben nicht so gewählt ist) ob [mm] a_i [/mm] =0 sein muss.
Ich habe das aber nicht genau nachgerechnet - wollte ja nur einen Ansatz liefern....
Hoffe, damit beantwortet sich die Frage und ich habe nichts übersehen.
viele Grüße
DaMenge
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:47 Fr 18.02.2005 | | Autor: | AdvDiaboli |
Hi Da Menge,
theoretisch sollte bei dir das richtige Herauskommen, praktisch ist die Lösung wahrscheinlich am kürzesten, wenn du betrachtest, dass die zwei Vektoren immer den ganzen [mm] R^2 [/mm] aufspannen (unabhängig vom Winkel) und dann recht einfach siehst, dass die Matrizen die Gleichung nicht erfüllen, wenn es einen von 0 verschiedenen Eintrag gibt (muss sicher auch für beliebiges [mm] \phi [/mm] aus deiner Methode herleitbar sein, aber ich rechne nur sehr ungerne)
viele Grüße
Michael
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:01 Fr 18.02.2005 | | Autor: | DaMenge |
Hi Michael,
du hast recht, das kleine homogene Gleichungssytem kann natürlich nur mit der trivialen Lösung gelöst werden, also gibt es nur eine Matrix...
Danke nochmal für die Anmerkung - habe es nicht erkannt, weil ich auch ungern rechne^^
viele grüße
DaMenge
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