Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 11:15 Sa 12.02.2005 | | Autor: | Relationchip |
3 Aufgaben sind mein Problem. Die Gleichungen sollen nach x umgestellt werden das nur eine Matrix X existiert.
1.Gleichung
2BX+AD=C und 3BX-2D=A ; x und D unbekannt
(vorgegeben Lösung: [mm] (4B+3AB)^-1(2C+A^2)
[/mm]
2.Gleichung
X=A^-1XA
(vorgegebene Lösung:nicht möglich)
3.Gleichung
XB(A^-1XB)^-1=E
(vorgegebene Lösung:AE, dann Xbeliebig)
4.Gleichung
AX^-1B^-1=(A^-1-E)^-1
(vorgegebene Lösung: B^-1(E-A)
Es ware echt super wenn mir jemand helfen könnte und mir den Rechenweg mit angeben könnte damit ich es nachvollziehen kann und vielleicht auch verstehe.
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:49 Sa 12.02.2005 | | Autor: | DaMenge |
Hi,
du hast hier Aufgaben ähnlichen Typs rein gestellt - siehe dir bitte erst deren Lösungen an, dann schaue, ob du es selbst schaffst - wenn du dir unsicher bist, dann stelle deine EIGENEN ANSÄTZE (!!) hier bitte hinein.
[Beachte die Forumregeln]
solange setze ich das mal auf "reagiert"..
viele Grüße
DaMenge
|
|
|
| |
|
Ansatz zur 1.Gleichung
2BX + AD = C / *3
3BX - 2D = A /*2
6BX + 3AD = 3C
6BX - 4D = 2A
3AD - 4D = 3C +2A /nach D umgestellt
D= (3A+4E)^-1 (3C+2A)
Aber beim einsetzen in die erste Gleichung komme ich nicht auf das vorgegebene Ergebnis. Wo liegt mein Fehler?
Ansatz zur 2.Gleichung
X=A^1XA [mm] /-A^1
[/mm]
Ax=EXA
AX=XA --> nicht möglich
Ist dieser Lösungsweg so in Ordnung?
Ansatz zur 3.Gleichung
Bei der 3.Gleichung habe ich keinen Lösungsansatz. Da ich keine ahnung habe wie man die lösen könnte.
Ansatz zur 4.Gleichung
AX^-1B^-1=(A^-1-E)^-1
Hier fehlt mir auch ein Ansatz. Kann damit nichts anfangen.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:28 So 13.02.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo Relationchip!
Zur erste Aufgabe:
Stelle zunächst die zweite Gleichung nach $D$ um:
$D= [mm] \frac{1}{2}(3BX [/mm] - A)$,
setze dies dann in die erste Gleichung ein:
$2BX + [mm] \frac{1}{2} [/mm] 3 ABX - [mm] \frac{1}{2} A^2 [/mm] = C$,
faktorisiere:
$X [mm] \cdot [/mm] (2B + [mm] \frac{3}{2} [/mm] AB) = C + [mm] \frac{1}{2}A^2$,
[/mm]
multipliziere für die Ästhetik beide Seiten mit $2$:
$X [mm] \cdot [/mm] (4B + 3AB) = 2C + [mm] A^2$,
[/mm]
und lösen nach $X$ auf (durch Multiplikation mit $4B + 3AB$ von rechts, falls diese Inverse existiert). Dann erhältst du:
$X = [mm] (4B+3AB)^{-1}(2C+A^2)$.
[/mm]
Die zweite Aufgabe ist blöd gestellt. Die Lösung soll nur andeuten, dass man ohne Weiteres nicht nach $X$ auflösen kann. Das heißt aber nicht, dass es keine Lösungen gibt (zum Beispiel ist ja jedes Vielfache der Einheitsmatrix eine Lösung).
Zur dritten Aufgabe:
Man erhält:
$XB = [mm] A^{-1}XB$, [/mm]
Dies Aussage in der Lösung ist nun lediglich: Wenn $A=E$ ist, dann haben wir $XB=XB$, und jede Matrix $X$ der passenden Form löst die Gleichung.
Die Frage bleibt offen, was im Falle $A [mm] \ne [/mm] E$ passiert. Da der Matrizenring nicht nullteilerfrei ist, kann die Frage nicht so ohne Weiteres beantwortet werden. In diesem Fall kann es also durchaus auch Lösungen geben (nur kann man sie ohne Kenntnis von $A$ nicht ohne Weiteres angeben).
Zur vierten Aufgabe:
Wir haben nach Multiplikation mit [mm] $A^{-1} [/mm] - E$ von links auf beiden Seiten:
[mm] $(A^{-1} [/mm] - [mm] E)AX^{-1}B^{-1} [/mm] = E$.
Multiplizieren wir jetzt von rechts auf beiden Seiten mit $BX$, so erhalten wir:
[mm] (A^{-1} [/mm] - E)A = BX$.
Jetzt multipliziere wir links aus:
$E - A = BX$,
und erhalten, falls $B$ invertierbar ist:
$X = [mm] B^{-1}(E-A)$.
[/mm]
Viele Grüße
Stefan
|
|
|
|
