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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:43 Sa 11.12.2004 | | Autor: | emanuels |
Ich sizte jetzt schon ewig an dieser Aufgabe und komm einfach nicht weiter:
Es ist eine dreireihige Diagonalmatrix A gegeben mit paarweise verschiedenen Einträgen a1, a2 und a3 auf der Diagonalen (ai != 0). Gesucht sind alle dreireihigen Matrizen mit AB=BA.
ich habe erstmal die beiden Produkte ausgerechnet, da komm ich aber auf ein Gleichungssystem mit 9 Unbekannten und nur 3 Gleichungen:
a2*b21 = a1*b12
a3*b31 = a1*b13
a3*b32 = a2*b23
Irgendwie spiegeln sich die Koeffizienten jeweils an der Diagonalen, die sich ja bei AB und BA jeweils gleich sind.
Aber ich komme trotzdem nicht richtig weiter damit.
Wäre schön wenn mir jemand dabei helfen könnte.
Danke.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:01 Sa 11.12.2004 | | Autor: | Jerry77 |
Bist Du sicher mit deinem Produkt ??
da solltest Du nochmal drueber nachdenken
Hier die Lösung:
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1. A ist Diagonalmatrix (3x3)
[mm] \Rightarrow( [/mm] wegen AB=BA) auch B ist 3x3 Matrix
2. rechne beide Matrix-Produkte aus AB = C und BA=D
.. das sind wieder 3x3 Matrizen.
3. vergleiche die Eintraege der Matrizen C und D und folgere daraus die Loesung
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:47 Sa 11.12.2004 | | Autor: | emanuels |
Hallo nochmal, habe mich wahrscheinlich vorhin etwas blöd ausgedrückt, bei dem Gleichungssystem, das ich aufgeschrieben habe, habe ich schon AB und BA gleichgesetzt (die Diagonale ist ja bei AB und BA jeweils gleich, deshalb nur drei gleichungen)
ich habe für die matrix A a1 0 0
0 a2 0
0 0 a3
angenommen für B b11 b12 b13
b21 b22....
und dann komm ich halt auf diese Gleichungssystem und viel weiter leider nicht...
Vielen Dank schon mal im Voraus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:51 Sa 11.12.2004 | | Autor: | emanuels |
Die letzte Mitteilung sollte eine Frage darstellen - bin erst neu hier 
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Halli hallo!
Du hast dich mit deinen Gleichungen ein wenig vertan!
Du erhälst für das Produkt AB:
[mm] \pmat{ a_{1} & 0 & 0 \\ 0 & a_{2} & 0 \\ 0 & 0 & a_{3}}*\pmat{ b_{11} & b_{12} & b_{13} \\ b_{21} & b_{22} & b_{23} \\ b_{31} & b_{32} & b_{33}}=\pmat{ a_{1}*b_{11} & a_{1}*b_{12} & a_{1}*b_{13} \\ a_{2}*b_{21} & a_{2}*b_{22} & a_{2}*b_{23} \\ a_{3}*b_{31} & a_{3}*b_{32} & a_{3}b_{33}}=C
[/mm]
und für BA:
[mm] \pmat{ b_{11} & b_{12} & b_{13} \\ b_{21} & b_{22} & b_{23} \\ b_{31} & b_{32} & b_{33}}*\pmat{ a_{1} & 0 & 0 \\ 0 & a_{2} & 0 \\ 0 & 0 & a_{3}}=\pmat{ a_{1}*b_{11} & a_{2}*b_{12} & a_{3}*b_{13} \\ a_{1}*b_{21} & a_{2}*b_{22} & a_{3}*b_{23} \\ a_{1}*b_{31} & a_{2}*b_{32} & a_{3}b_{33}}=D
[/mm]
Die Diagonaleinträge beider Matrizen C und D sind gleich, also sind die Werte für [mm] b_{ii} [/mm] beliebig wählbar!
Für den Eintrag (1,2) gilt nun aber:
[mm] a_{1}b_{12}=a_{2}b_{12}
[/mm]
Da die [mm] a_{i} [/mm] laut Aufgabenstellung ja paarweise verschieden sind, folgt damit [mm] b_{12}=0
[/mm]
Genauso verfährst du für die anderen Einträge...
Also erfüllen alle Matrizen B der Form
[mm] B=\pmat{ b_{11} & 0 & 0 \\ 0 & b_{22} & 0 \\ 0 & 0 & b_{33}}
[/mm]
die gewünschten Bedingungen!
Liebe Grüße
Ulrike
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:39 So 12.12.2004 | | Autor: | emanuels |
Vielen Dank für die Hilfe,
habe mich irgendwie völlig verrannt...
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