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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 17:51 Do 18.05.2006 | | Autor: | stray |
| Aufgabe 1 | | Gegeben ist die Matrix [mm] A = \pmat{ -2 & 1 \\ -1 & 1 }, E [/mm] sei die Einheitsmatrix. Berechnen Sie die Matrizen [mm] X [/mm] und [mm] Y [/mm], die die Gleichungen [mm] AX = E [/mm] und [mm] AY = X [/mm] erfüllen. |
| Aufgabe 2 | | Geben Sie alle Matrizen [mm] X [/mm] an, die die Gleichungen [mm] \pmat{ -1 & 2 \\ 2 & -4 } * X = 0 [/mm] erfüllen ( 0 die Nullmatrix). |
| Aufgabe 3 | | Für welche [mm] a \element R [/mm] hat die Gleichung [mm]\pmat{ 1 & a \\ 3 & 2 } * \pmat{ x \\ y } = \pmat{ 0 \\ 0 } [/mm] mehr als nur die triviale Lösung [mm] \pmat{ x \\ y } [/mm] = [mm] \pmat{ 0 \\ 0 } [/mm] ? |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Aufgabe 1
A = [mm] \pmat{ -2 & 1 \\ -1 & 1 }
[/mm]
E = [mm] \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1}
[/mm]
Lösung für X (berechnet so wie unten)
X = [mm] \pmat{ -1 & -1 \\ 1 & 0 }
[/mm]
und dann Y
Y = [mm] \pmat{ 0 & -1 \\ -1 & -1} [/mm]
Aufgabe 2
[mm] \pmat{ -1 & 2 \\ 2 & -4 } * X = \pmat{0 & 0 \\ 0 & 0} [/mm] ;
X = [mm] \pmat{ x_1 & x_3 \\ x_2 & x_4}, [/mm] für [mm] x_i [/mm] >0
-1 * [mm] x_1 [/mm] + 2 * [mm] x_2 [/mm] = 0
2* [mm] x_1 [/mm] - 4* [mm] x_2 [/mm] = 0 => [mm] x_1 [/mm] = 2 [mm] x_2 [/mm]
-1 * [mm] x_3 [/mm] + 2* [mm] x_4 [/mm] = 0
2* [mm] x_3 [/mm] - 4* [mm] x_4 [/mm] =0 => [mm] x_3 [/mm] = [mm] 2*x_4
[/mm]
Lösung
X = [mm] \pmat{ x_1 & x_3 \\ x_2 & x_4} [/mm] = [mm] \pmat{ 2*x_2 & 2*x_4 \\x_2 & x_4} [/mm]
Aufgabe 3
[mm] \pmat{ 1 & a \\ 3 & 2} \pmat{ x \\ y} [/mm] = [mm] \pmat{ 0 \\ 0}
[/mm]
1. Möglichkeit
1x + ay = 0
3x + 2y = 0
........usw........ Ergebnis : a = -1 ????
2.Möglichkeit (trivial Lösung) a = 0
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:06 Sa 20.05.2006 | | Autor: | Qjuh |
Das nächste Mal wäre es hilfreich eine Frage zu stellen und nicht einfach eine Rechnung anzugeben... Auf jeden Fall sind sowohl dein X und Y in Aufgabe 1 falsch, als auch dein a in Aufgabe 3. Deine Lösung von Aufgabe 2 hingegen ist korrekt.
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:36 Di 23.05.2006 | | Autor: | stray |
Nur um es nochmal zu klären, ich habe im Betreff korrektur geschrieben.
Die rot gekennzeichneten Texte ist die Lösung die ich habe,
die Frage ist natürlich, ob dies so richtig ist bzw. mir jemand sagen kann,
was ich wohl falsch gemacht habe.
Die Aufgabe 1 + 3 -> s.o.
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In Aufgabe 1 ist irgendwo der Wurm drin.
Die einzelnen Teile der Matrix X lassen sich wie folgt darstellen:
X = [mm] \begin{bmatrix}
x_{11} & x_{12} \\
x_{21} & x_{22}
\end{bmatrix}
[/mm]
[mm]-2\, \* \, x_{11} + x_{21} = 1 \, \Rightarrow \, x_{21} = 1 + 2 \* x_{11}[/mm]
[mm]-2 \* x_{12} + x_{22} = 0 \, \Rightarrow \, x_{22} = 2 \* x_{12}
[/mm]
X = [mm] \begin{bmatrix}
x_{11} & x_{12} \\
1 + 2 \* \, x_{11} & 2 \* \, x_{12}
\end{bmatrix}
[/mm]
[mm] III: -x_{11} + 1 + 2 \* \, x_{11} = 0 \, \Rightarrow \, x_{11} = -1 [/mm]
[mm] IV: -x_{12} + 2 \* \, x_{12} = 1 \, \Rightarrow \, x_{12} = 1 [/mm]
Setzt man diese Ergebnisse in die zweite Matrix ein, ergibt sich als Lösung für X:
[mm] X=\begin{bmatrix}
-1 & 1 \\
-1 & 2
\end{bmatrix}
[/mm]
Die Matrix Y sieht dann folgendermaßen aus:
Y [mm] =\begin{bmatrix}
0 & 1 \\
-1 & 3
\end{bmatrix}
[/mm]
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