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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:21 Do 08.12.2005 | | Autor: | Willi |
Hey Leute,
ich hab folgende Aufgabe und weiß nicht so genau ob ich die FRagestellung so ganz richtig verstanden hab. Bräuchte also mal kurz ne kleine Hilfestellung.
Aufgabe:
Sei K ein Körper, n [mm] \in \IN [/mm] und A = (aij) [mm] \in M(n\timesn,K) [/mm] die Matrix mit
[mm] aij=\begin{cases} 1, & \mbox{für } j = i+1 \\ 0, & \mbox{für } sonst \end{cases}
[/mm]
Berechnen Sie A² und A³.
Hab ich das jetzt richtig verstanden, dass die Matrix folgendermaßen aussieht:
[mm] \pmat{ o & 0 & ... & 0 \\ 0 & 1 & .... & 0 \\ 0 & 0 & 1 & ... & 0 \\ ... & ... \\ 0 & 0 & ... & 0 } [/mm] ?
Bitte um dringende Hilfe. DANKE.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:36 Fr 09.12.2005 | | Autor: | R4ph43l |
> Hey Leute,
Hallo!
> Hab ich das jetzt richtig verstanden, dass die Matrix
> folgendermaßen aussieht:
>
> [mm]\pmat{ o & 0 & ... & 0 \\ 0 & 1 & .... & 0 \\ 0 & 0 & 1 & ... & 0 \\ ... & ... \\ 0 & 0 & ... & 0 }[/mm]
> ?
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Leider falsch, die Matrix ist eine Diagonalmatrix mit Einsen über der Mitteldiagonale, d.h.
A = [mm] \pmat{ 0 & 1 & 0 & ... & 0 \\ \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & \vdots \\ \vdots & ... & \ddots & \ddots & \vdots \\ \vdots & ... & ... & 0 & 1 \\ 0 & ... & ... & ... & 0 }
[/mm]
Ist relativ leicht zu überlegen, wenn du für i einfach die Zeile einsetzt in der du bist und dann die Spalte j = i+1 suchst und dort eine 1 einsetzt und den Rest mit Nullen füllst.
Die Berechnung von A² und A³ sollte eigentlich einfach sein.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:49 Fr 09.12.2005 | | Autor: | Willi |
Hey Leute,
Also, die Berechnung von A² und A³ war leicht, dabei hat sich dann nur die "Einserdiagonale" um eine bzw um zwei Spalten nach rechts verschoben.
Meine Frage ist jetzt aber folgende: Ich soll eine Vermutung für den WErt von A ^{k}: = A [mm] \*A \* \* \*A [/mm] (k Faktoren) mit k [mm] \in\IN [/mm] formuliern und diese mittels vollständiger Induktion nach k beweisen.
Auch hier ist der Induktionsbeweis nicht das Problem, lediglich wie ich die Vermutung (dass sich die "Einserdiagonale" spaltenweise immer weiter nach rechts verschiebt, oder ist das doch eine falsche Vermutung?) mathematisch formuliere, um die Induktion ansetzen zu können.
Bitte nochmals um Hilfe. DANKE.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo!
Deine Vermutung ist schon richtig!
Die richtige Behauptung wäre wohl
$ [mm] a^{(k)}_{ij}=\begin{cases} 1, & \mbox{für } j = i+k \\ 0, & \mbox{für } sonst \end{cases} [/mm] $,
wobei [mm] $A^k=\left(a^{(k)}_{ij}\right)_{1\le i,j\le n}$...
[/mm]
Gruß, banachella
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