Matrize, det, cos, sin < Abbildungen+Matrizen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:47 Fr 02.02.2007 | | Autor: | Hing |
| Aufgabe | Sei t aus D bilde [mm] \pmat{ cos(\alpha)-t & -sin(\alpha) \\ sin(\alpha) & cos(\alpha)-t }
[/mm]
Für welche t ist die Determinante = 0?
Für welche [mm] \alpha [/mm] sind die Nullstelle reell? |
hallo, ich habe die erste aufgabe gelöst indem ich eine zeile oder spalte = 0 gesetzt habe, und dann nach t gelöst. als ergebnis habe ich t = cos [mm] \alpha [/mm] erhalten. ist das richtig?
die zweite aufgabe war schon kniffliger. da habe ich auch eine zeile = 0 gesetzt und diesmal nach [mm] \alpha [/mm] gelöst. als ergebnis habe ich [mm] \alpha [/mm] = [mm] arccos\bruch{t^{2}-1}{2}. [/mm] ist das richtig?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:12 Fr 02.02.2007 | | Autor: | thoma2 |
wenn du t=cos(a) setzt, kommt bei mir:
[cos(a)-cos(a)] * [cos(a)-cos(a)] - [sin(a) * (-sin(a))] = [mm] sin^2(a)
[/mm]
damit ist die aufgabe aber nicht gelösst, denn [mm] sin^2(a) [/mm] ist nicht für alle a gleich null.
besser wäre es, wenn du:
[cos(a) - t] * [cos(a) - t] - [sin(a) * (-sin(a))] = 0
rechnest.
welche nullstellen sind in der zweiten frage gemeint?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:25 Fr 02.02.2007 | | Autor: | Hing |
ich bin gerade bisschen irritiert, weil ich vor ein paar minuten die lösung erhalten habe die aber sehr schwer zu verstehen ist. die drei zeilen unten sind exakt genauso kopiert. verstehst du das?
det(A-tE) = t*t - 2(cos [mm] \alpha)t [/mm] +1
1=det(A)
[mm] 2cos(\alpha) [/mm] = Spur(A) = Summer der Diagonalen
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:51 Fr 02.02.2007 | | Autor: | clwoe |
Hi,
ich kann dir nur soviel verraten, als das, das hier berechnet wird, die Eigenwerte der Matrix sind. Über diese Formel berechnet man die Eigenwerte einer quadratischen Matrix.
Weiterhin ist die Summe der Eigenwerte gleich der Summe der Diagonaleinträge der zugehörigen Matrix. Doch was das hier mit der Aufgabenstellung zu tun hat, kann ich dir im Moment leider nicht sagen.
Gruß,
clwoe
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:55 Fr 02.02.2007 | | Autor: | thoma2 |
> ich bin gerade bisschen irritiert, weil ich vor ein paar
> minuten die lösung erhalten habe die aber sehr schwer zu
> verstehen ist. die drei zeilen unten sind exakt genauso
> kopiert. verstehst du das?
>
> det(A-tE) = t*t - 2(cos [mm]\alpha)t[/mm] +1
> 1=det(A)
> [mm]2cos(\alpha)[/mm] = Spur(A) = Summer der Diagonalen
>
>
>
da wir die matrix in zwei zerlegt. also
D = [mm] \pmat{ cos(a) & -sin(a) \\ sin(a) & cos(a) } [/mm] - [mm] \pmat{ t & 0 \\ 0 & 1 }
[/mm]
det( [mm] \pmat{ cos(a) & -sin(a) \\ sin(a) & cos(a) }) [/mm] = 1
det( [mm] \pmat{ t & 0 \\ 0 & 1 }) [/mm] = [mm] t^2
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:06 Fr 02.02.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
Deine Matrix kann man schreiben als A-t*E, wobei E die einheitsmatrix ist.
Wie man die det. davon ausrechnet solltest du wissen.
es kommt raus det= [mm] t^2-2t*cos\alpha+(cos^2\alpha+sin^2\alpha) [/mm] und das in der Klammer ist 1 und es ist det(A)
der Vietasche Wurzelsatz sagt: die Summe der 2 loesungen x1,x2 einer qu. Gleichung [mm] x^2+px+q [/mm] ist x1+x2=-p hier also [mm] 2cos\alpha
[/mm]
das Produkt x1*x2=q hier also 1 oder det(A)
wann t reell ist solltest du leicht selbst sehen [mm] (cos\alpha=1)
[/mm]
Gruss leduart
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